Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше 2.
Решение
Пусть \(a > 0\). Нужно доказать, что \(a + \dfrac{1}{a} \geqslant 2\). Составим разность:
\(a + \dfrac{1}{a} - 2 = \dfrac{a^2 + 1 - 2a}{a} = \dfrac{(a - 1)^2}{a}\).
Числитель \((a - 1)^2 \geqslant 0\), знаменатель \(a > 0\), поэтому разность неотрицательна. Значит, \(a + \dfrac{1}{a} \geqslant 2\); равенство — только при \(a = 1\).
Ответ
Доказано, a + 1/a ≥ 2 при a > 0
Почему так
Разность a + 1/a − 2 равна (a − 1)²/a и при a > 0 неотрицательна.
Подробнее — в теме «Числовые неравенства».