Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 34

Упражнение 849 к § 34

§ 34. Числовые неравенства · тема: Числовые неравенства

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать неравенство (c² + 1)/2 ≥ c.

Решение

$\dfrac{c^2 + 1}{2} - c = \dfrac{c^2 - 2c + 1}{2} = \dfrac{(c - 1)^2}{2} \geqslant 0$ .

Разность неотрицательна при любом $$c$$ , значит, неравенство верно; равенство — при $$c = 1$$ .

Ответ

Неравенство доказано (разность частей (c − 1)²/2 ≥ 0)

Почему так

Разность частей — квадрат, делённый на 2, поэтому неотрицательна.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать неравенство c/(c² + 1) ≤ 1/2.

Решение

$\dfrac{c}{c^2 + 1} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2c - c^2 - 1}{2(c^2 + 1)} = -\dfrac{(c - 1)^2}{2(c^2 + 1)}$ .

Числитель $(c - 1)^2 \geqslant 0$ , знаменатель $$2(c^2 + 1) > 0$$ , поэтому разность неположительна. Значит, $\dfrac{c}{c^2 + 1} \leqslant \dfrac{1}{2}$ ; равенство — при $$c = 1$$ .

Ответ

Неравенство доказано (разность частей −(c − 1)²/(2(c² + 1)) ≤ 0)

Почему так

Знаменатель c² + 1 всегда положителен, а числитель разности — квадрат со знаком минус.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки