Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 34

Упражнение 850 к § 34

Задача 1

Условие (кратко)

а) Выделением квадрата двучлена доказать неравенство a² − 6a + 14 > 0.

Решение

$$a^2 - 6a + 14 = a^2 - 6a + 9 + 5 = (a - 3)^2 + 5$$ .

Так как $(a - 3)^2 \geqslant 0$ , то $(a - 3)^2 + 5 \geqslant 5 > 0$ при любом $$a$$ .

Ответ

Неравенство доказано, a² − 6a + 14 = (a − 3)² + 5 > 0

Почему так

Квадрат неотрицателен, а прибавленное положительное число делает сумму положительной.

Условие (кратко)

б) Выделением квадрата двучлена доказать неравенство b² + 70 > 16b.

Решение

Составим разность левой и правой частей и выделим квадрат:

$$b^2 + 70 - 16b = b^2 - 16b + 64 + 6 = (b - 8)^2 + 6$$ .

Так как $(b - 8)^2 \geqslant 0$ , то $(b - 8)^2 + 6 \geqslant 6 > 0$ . Разность положительна, значит, $$b^2 + 70 > 16b$$ при любом $$b$$ .

Ответ

Неравенство доказано, b² − 16b + 70 = (b − 8)² + 6 > 0

Почему так

Разность частей равна сумме квадрата и положительного числа.