Задача 1
Условие (кратко)
Какое из неравенств верно не при любом a: а) a² > 2a − 3; б) a² + 6 > 4a; в) 4a − 4 < a²; г) 8a − 70 < a²?
Решение
Для каждого неравенства составим разность «большей» и «меньшей» частей и выделим квадрат:
а) \(a^2 - 2a + 3 = (a - 1)^2 + 2 > 0\) — верно всегда.
б) \(a^2 - 4a + 6 = (a - 2)^2 + 2 > 0\) — верно всегда.
в) \(a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2 \geqslant 0\) — при \(a = 2\) разность равна нулю. Тогда \(4a - 4 = 4\) и \(a^2 = 4\), и строгое неравенство \(4 < 4\) неверно.
г) \(a^2 - 8a + 70 = (a - 4)^2 + 54 > 0\) — верно всегда.
Ответ
в) 4a − 4 < a² (неверно при a = 2)
Почему так
Строгое неравенство не выполняется там, где разность частей обращается в нуль.
Подробнее — в теме «Числовые неравенства».