Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 34

Упражнение 852 к § 34

§ 34. Числовые неравенства · тема: Числовые неравенства

Задача 1

Условие (кратко)

а) (Для работы в парах.) Доказать, что при a, b > 0 из a² > b² следует a > b, и сравнить √6 + √3 и √7 + √2.

Решение

Свойство. Пусть $$a > 0$$ , $$b > 0$$ и $$a^2 > b^2$$ . Тогда $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) > 0$$ . Так как $$a + b > 0$$ , то и $$a - b > 0$$ , т. е. $$a > b$$ .

Сравнение. Оба числа положительны, сравним их квадраты:

$(\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 = 6 + 2\sqrt{18} + 3 = 9 + 2\sqrt{18}$ ,

$(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{14} + 2 = 9 + 2\sqrt{14}$ .

Так как $$18 > 14$$ , то $\sqrt{18} > \sqrt{14}$ , и первый квадрат больше. По свойству $\sqrt{6} + \sqrt{3} > \sqrt{7} + \sqrt{2}$ .

Ответ

√6 + √3 > √7 + √2

Почему так

Положительные числа сравнивают по квадратам — у большего числа больше и квадрат.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Задача 2

Условие (кратко)

б) (Для работы в парах.) Используя свойство «a, b > 0 и a² > b², значит, a > b», сравнить √3 + 2 и √6 + 1.

Решение

Оба числа положительны, сравним их квадраты:

$(\sqrt{3} + 2)^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7 + 4\sqrt{3} = 7 + \sqrt{48}$ ,

$(\sqrt{6} + 1)^2 = 6 + 2\sqrt{6} + 1 = 7 + 2\sqrt{6} = 7 + \sqrt{24}$ .

Так как $\sqrt{48} > \sqrt{24}$ , первый квадрат больше. Значит, $\sqrt{3} + 2 > \sqrt{6} + 1$ .

Ответ

√3 + 2 > √6 + 1

Почему так

Положительные числа сравнивают по квадратам — у большего числа больше и квадрат.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Задача 3

Условие (кратко)

в) (Для работы в парах.) Используя свойство «a, b > 0 и a² > b², значит, a > b», сравнить √5 − 2 и √6 − √3.

Решение

Оба числа положительны: $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$ и $\sqrt{6} > \sqrt{3}$ . Сравним их квадраты:

$(\sqrt{5} - 2)^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - \sqrt{80}$ ,

$(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 = 6 - 2\sqrt{18} + 3 = 9 - \sqrt{72}$ .

Так как $\sqrt{80} > \sqrt{72}$ , то $9 - \sqrt{80} < 9 - \sqrt{72}$ : квадрат первого числа меньше. Значит, $\sqrt{5} - 2 < \sqrt{6} - \sqrt{3}$ .

Ответ

√5 − 2 < √6 − √3

Почему так

Сравнивать по квадратам можно только положительные числа, поэтому сначала проверяют знак разностей.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Задача 4

Условие (кратко)

г) (Для работы в парах.) Используя свойство «a, b > 0 и a² > b², значит, a > b», сравнить √10 − √7 и √11 − √6.

Решение

Оба числа положительны: $\sqrt{10} > \sqrt{7}$ и $\sqrt{11} > \sqrt{6}$ . Сравним их квадраты:

$(\sqrt{10} - \sqrt{7})^2 = 10 - 2\sqrt{70} + 7 = 17 - 2\sqrt{70}$ ,

$(\sqrt{11} - \sqrt{6})^2 = 11 - 2\sqrt{66} + 6 = 17 - 2\sqrt{66}$ .

Так как $\sqrt{70} > \sqrt{66}$ , то $17 - 2\sqrt{70} < 17 - 2\sqrt{66}$ : квадрат первого числа меньше. Значит, $\sqrt{10} - \sqrt{7} < \sqrt{11} - \sqrt{6}$ .

Ответ

√10 − √7 < √11 − √6

Почему так

У двух положительных чисел больше то, у которого больше квадрат.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки