Задача 1
Доказать, что при a ≥ 0 и b ≥ 0 верно неравенство (a + b)/2 ≤ √((a² + b²)/2).
Решение
Обе части неотрицательны, поэтому достаточно сравнить их квадраты (если \(x \geqslant 0\), \(y \geqslant 0\) и \(x^2 \leqslant y^2\), то \(x \leqslant y\): иначе из \(x > y \geqslant 0\) следовало бы \(x^2 > y^2\)).
\(\left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2 = \dfrac{a^2 + 2ab + b^2}{4}\), \(\quad \left(\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}\right)^2 = \dfrac{a^2 + b^2}{2} = \dfrac{2a^2 + 2b^2}{4}\).
Разность квадратов правой и левой частей:
\(\dfrac{2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2}{4} = \dfrac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \dfrac{(a - b)^2}{4} \geqslant 0\).
Значит, квадрат левой части не больше квадрата правой, и \(\dfrac{a + b}{2} \leqslant \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}\); равенство — при \(a = b\).
Ответ
Неотрицательные выражения удобно сравнивать по их квадратам — так советует и указание учебника.
Подробнее — в теме «Числовые неравенства».