Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 35

Упражнение 870 к § 35

§ 35. Свойства числовых неравенств · тема: Свойства числовых неравенств

Задача 1

Условие (кратко)

а) (Для работы в парах.) a > 0. Расположить в порядке возрастания числа 2a, a√3, −a, a(√3 − √2), 3a.

Решение

Все числа имеют вид $$ka$$ , где $$a > 0$$ . При умножении на положительное $$a$$ порядок множителей сохраняется, поэтому достаточно упорядочить множители $$2$$ , $\sqrt{3}$ , $$-1$$ , $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ , $$3$$ .

$$-1$$ — единственный отрицательный множитель.

$\sqrt{3} - \sqrt{2} > 0$ , так как $$3 > 2$$ . Кроме того, $\sqrt{3} < 2 < 1 + \sqrt{2}$ , поэтому $\sqrt{3} - \sqrt{2} < 1$ .

$1 < \sqrt{3} < 2$ , так как $$1 < 3 < 4$$ .

Итак, $-1 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < \sqrt{3} < 2 < 3$ , и

-a < a(\sqrt{3} - \sqrt{2}) < a\sqrt{3} < 2a < 3a.

Ответ

−a, a(√3 − √2), a√3, 2a, 3a

Почему так

При умножении на положительное число a порядок чисел сохраняется, поэтому сравниваются коэффициенты.

Подробнее — в теме «Свойства числовых неравенств».

Задача 2

Условие (кратко)

б) (Для работы в парах.) a > 0. Расположить в порядке убывания числа 6a, −a√5, a(√7 − √6), −a, −5a − 1.

Решение

Сравним коэффициенты при $$a$$ (умножение на положительное $$a$$ порядок сохраняет).

$$6a$$ — наибольшее: $6 > 1 > \sqrt{7} - \sqrt{6}$ (так как $\sqrt{7} < 3 < 1 + \sqrt{6}$ ).

$a(\sqrt{7} - \sqrt{6}) > 0$ , так как $\sqrt{7} > \sqrt{6}$ , а остальные три числа отрицательны.

$-1 > -\sqrt{5}$ , так как $1 < \sqrt{5}$ ; значит, $-a > -a\sqrt{5}$ .

$\sqrt{5} < 5$ , значит, $-a\sqrt{5} > -5a > -5a - 1$ .

В порядке убывания:

6a > a(\sqrt{7} - \sqrt{6}) > -a > -a\sqrt{5} > -5a - 1.

Ответ

6a, a(√7 − √6), −a, −a√5, −5a − 1

Почему так

Порядок определяется коэффициентами при положительном a; число −5a − 1 меньше −5a, которое меньше −a√5.

Подробнее — в теме «Свойства числовых неравенств».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки