Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 35

Упражнение 875 к § 35

§ 35. Свойства числовых неравенств · тема: Свойства числовых неравенств

Задача 1

Условие (кратко)

а) Сравнить числа √11 + 13 и 15.

Решение

Так как $$9 < 11$$ , то $\sqrt{11} > \sqrt{9} = 3$ .

Прибавим $$13$$ , получаем $\sqrt{11} + 13 > 16 > 15$ .

По транзитивности $\sqrt{11} + 13 > 15$ .

Ответ

√11 + 13 > 15

Почему так

Корень оценивается через ближайший точный квадрат, затем прибавляется число и используется транзитивность.

Подробнее — в теме «Свойства числовых неравенств».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Сравнить числа √84 и 7 + √6.

Решение

Оценим каждое число.

$9{,}2^2 = 84{,}64 > 84$ , поэтому $\sqrt{84} < 9{,}2$ .

$2{,}4^2 = 5{,}76 < 6$ , поэтому $\sqrt{6} > 2{,}4$ и $7 + \sqrt{6} > 9{,}4$ .

Получаем $\sqrt{84} < 9{,}2 < 9{,}4 < 7 + \sqrt{6}$ , значит, $\sqrt{84} < 7 + \sqrt{6}$ .

Ответ

√84 < 7 + √6

Почему так

Оба числа оцениваются десятичными границами, затем применяется транзитивность.

Подробнее — в теме «Свойства числовых неравенств».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Сравнить числа √8 − √3 и 2.

Решение

$\sqrt{8} < \sqrt{9} = 3$ .

$\sqrt{3} > \sqrt{1} = 1$ , поэтому $-\sqrt{3} < -1$ .

Значит, $\sqrt{8} - \sqrt{3} < 3 - \sqrt{3} < 3 - 1 = 2$ .

Ответ

√8 − √3 < 2

Почему так

Уменьшаемое оценивается сверху, вычитаемое снизу; умножение на −1 меняет знак неравенства.

Подробнее — в теме «Свойства числовых неравенств».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Сравнить числа √47 − √7 и 5.

Решение

$\sqrt{47} < \sqrt{49} = 7$ .

$\sqrt{7} > \sqrt{4} = 2$ , поэтому $-\sqrt{7} < -2$ .

Значит, $\sqrt{47} - \sqrt{7} < 7 - \sqrt{7} < 7 - 2 = 5$ .

Ответ

√47 − √7 < 5

Почему так

Уменьшаемое оценивается сверху, вычитаемое снизу, затем применяется транзитивность.

Подробнее — в теме «Свойства числовых неравенств».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки