Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 35

Упражнение 876 к § 35

§ 35. Свойства числовых неравенств · тема: Свойства числовых неравенств

Задача 1

Условие (кратко)

а) Сравнить числа √2 + 5 и 2 + √5.

Решение

$\sqrt{2} > 1$ , поэтому $\sqrt{2} + 5 > 6$ .

$\sqrt{5} < \sqrt{9} = 3$ , поэтому $2 + \sqrt{5} < 5$ .

Получаем $2 + \sqrt{5} < 5 < 6 < \sqrt{2} + 5$ , значит, $\sqrt{2} + 5 > 2 + \sqrt{5}$ .

Ответ

√2 + 5 > 2 + √5

Почему так

Каждое число оценивается через ближайшие точные квадраты, затем транзитивность.

Подробнее — в теме «Свойства числовых неравенств».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Сравнить числа √3 − 4 и 1 − √5.

Решение

$\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2$ , поэтому $\sqrt{3} - 4 < -2$ .

$\sqrt{5} < 3$ , поэтому $-\sqrt{5} > -3$ и $1 - \sqrt{5} > -2$ .

Получаем $\sqrt{3} - 4 < -2 < 1 - \sqrt{5}$ , значит, $\sqrt{3} - 4 < 1 - \sqrt{5}$ .

Ответ

√3 − 4 < 1 − √5

Почему так

Оба числа сравниваются с промежуточным числом −2; умножение на −1 меняет знак неравенства.

Подробнее — в теме «Свойства числовых неравенств».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Сравнить числа (2√3 + 23)/3 и 9.

Решение

$\sqrt{3} < 2$ , поэтому $2\sqrt{3} < 4$ и $2\sqrt{3} + 23 < 27$ .

Делим на положительное число $$3$$ :

\dfrac{2\sqrt{3} + 23}{3} < \dfrac{27}{3} = 9.

Ответ

(2√3 + 23)/3 < 9

Почему так

Числитель оценивается сверху, деление на положительное число сохраняет знак неравенства.

Подробнее — в теме «Свойства числовых неравенств».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Сравнить числа (1 − √15)/12 и −7/8.

Решение

$\sqrt{15} < \sqrt{16} = 4$ , поэтому $-\sqrt{15} > -4$ и $1 - \sqrt{15} > -3$ .

Делим на положительное число $$12$$ :

\dfrac{1 - \sqrt{15}}{12} > -\dfrac{3}{12} = -\dfrac{1}{4}.

А $-\dfrac{1}{4} = -\dfrac{2}{8} > -\dfrac{7}{8}$ . По транзитивности $\dfrac{1 - \sqrt{15}}{12} > -\dfrac{7}{8}$ .

Ответ

(1 − √15)/12 > −7/8

Почему так

Числитель оценивается снизу через √16 = 4, затем деление на положительное число и транзитивность.

Подробнее — в теме «Свойства числовых неравенств».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки