Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 36

Упражнение 883 к § 36

§ 36. Сложение и умножение числовых неравенств · тема: Сложение и умножение числовых неравенств

Задача 1

Условие (кратко)

а) Верно ли для положительных a и b, что если a² > b², то a³ > b³?

Решение

Сначала покажем, что из $$a^2 > b^2$$ следует $$a > b$$ . Предположим противное: $a \leqslant b$ . Тогда при положительных $$a$$ и $$b$$ по следствию о возведении в степень $a^2 \leqslant b^2$ , что противоречит условию. Значит, $$a > b$$ .

Теперь $$a$$ и $$b$$ положительны и $$a > b$$ , поэтому $$a^3 > b^3$$ (почленно перемножаем три неравенства $$a > b$$ ).

Ответ

Да, верно

Почему так

Для положительных чисел из a² > b² следует a > b, а из a > b — любая натуральная степень сохраняет знак неравенства.

Подробнее — в теме «Сложение и умножение числовых неравенств».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Верно ли для положительных a и b, что если a³ > b³, то a² > b²?

Решение

Если бы было $a \leqslant b$ , то для положительных чисел $a^3 \leqslant b^3$ — противоречие с условием. Значит, $$a > b$$ .

Перемножив почленно неравенства $$a > b$$ и $$a > b$$ (все числа положительны), получим $$a^2 > b^2$$ .