Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Верные неравенства одного знака можно почленно складывать: если \(a < b\) и \(c < d\), то \(a + c < b + d\). Перемножать их почленно можно, только когда все части положительны: тогда \(ac < bd\). На этом основана оценка суммы, разности, произведения и частного величин, известных приближённо.
Подробное объяснение
Вы едете в гости: до вокзала от 20 до 25 минут, на электричке от 40 до 45 минут. Сколько займёт вся дорога? Ясно, что не меньше \(20 + 40 = 60\) минут и не больше \(25 + 45 = 70\) минут. Вы только что сложили два неравенства почленно. Именно так математики оценивают величины, которые точно не известны.
Почленное сложение
Если \(a < b\) и \(c < d\), то \(a + c < b + d\). Почему так? Прибавим \(c\) к обеим частям первого неравенства: \(a + c < b + c\). Прибавим \(b\) к обеим частям второго: \(b + c < b + d\). По свойству транзитивности \(a + c < b + d\).
Важно: складывать можно только неравенства одного знака (оба «<» или оба «>»). Знаки самих чисел не важны — правило верно и для отрицательных. Складывать можно и три, и больше неравенств.
А вот вычитать неравенства почленно нельзя. Например, \(1 < 5\) и \(0 < 10\) верны, а «\(1 - 0 < 5 - 10\)» — нет. Разность оценивают по-другому: \(x - y = x + (-y)\). Сначала из оценки \(y\) получают оценку \(-y\) (умножают на \(-1\), знаки меняются, границы меняются местами), а потом складывают.
Почленное умножение
Если \(a < b\) и \(c < d\), причём все четыре числа положительны, то \(ac < bd\). Условие положительности здесь главное. Без него правило ломается: \(-1 < 2\) и \(-3 < 1\) верны, а их «произведение» \(3 < 2\) — нет.
Отсюда следствие: если \(0 < a < b\), то \(a^n < b^n\) для любого натурального \(n\). Например, из \(1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5\) получаем \(1{,}96 < 2 < 2{,}25\).
Частное тоже оценивают через умножение: \(\dfrac{x}{y} = x \cdot \dfrac{1}{y}\). Для положительных чисел, если \(2 < y < 5\), то \(\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{y} < \dfrac{1}{2}\) — у обратных чисел границы меняются местами.
Оценка и погрешность
Любое измерение даёт число с погрешностью. Если линейка показала длину 12,3 см с точностью до 0,1 см, то на самом деле \(12{,}2 \leqslant a \leqslant 12{,}4\). Вычисляя по таким данным периметр или площадь, мы получаем не одно число, а промежуток, в котором лежит истинное значение. Так проверяют, хватит ли краски, поместится ли шкаф, подойдёт ли комната по площади: смотрят, выполняется ли требование при самой неудачной границе.
Как решать
- Выпишите оценки данных величин двойными неравенствами, например \(3 < x < 4\), \(5 < y < 6\).
- Определите, что нужно оценить, и выразите это через сумму или произведение: разность — как \(x + (-y)\), частное — как \(x \cdot \dfrac{1}{y}\).
- Если нужна \(-y\), умножьте оценку \(y\) на \(-1\) и поменяйте знаки. Если нужна \(\dfrac{1}{y}\) (при \(y > 0\)) — возьмите обратные числа и тоже поменяйте знаки.
- Для произведения убедитесь, что все границы положительны.
- Запишите неравенства столбиком и сложите (или перемножьте) отдельно левые и отдельно правые границы.
- Запишите результат двойным неравенством и проверьте, что левая граница меньше правой.
Разобранные примеры
Оценка суммы и произведения
Известно, что \(4 < a < 5\) и \(6 < b < 8\). Оцените \(a + b\) и \(ab\).
Складываем почленно: \(4 + 6 < a + b < 5 + 8\), то есть \(10 < a + b < 13\).
Все границы положительны, поэтому можно перемножить почленно: \(4 \cdot 6 < ab < 5 \cdot 8\), то есть \(24 < ab < 40\).
Оценка разности и частного
Известно, что \(20 < x < 24\) и \(4 < y < 5\). Оцените \(x - y\) и \(\dfrac{x}{y}\).
Из \(4 < y < 5\) получаем \(-5 < -y < -4\). Складываем с \(20 < x < 24\):
Для частного: из \(4 < y < 5\) следует \(\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{y} < \dfrac{1}{4}\). Перемножаем с \(20 < x < 24\):
Хватит ли обоев
Стену измерили с точностью до 0,1 м: длина 4,2 м, высота 2,7 м. Рулона обоев хватает на 11,5 м². Хватит ли одного рулона наверняка?
С учётом точности \(4{,}1 \leqslant a \leqslant 4{,}3\) и \(2{,}6 \leqslant b \leqslant 2{,}8\). Все числа положительны, перемножаем почленно:
Площадь может оказаться больше 11,5 м², поэтому наверняка утверждать, что рулона хватит, нельзя.
Типичные ошибки
Из \(10 < x < 12\) и \(3 < y < 5\) пишут «\(10 - 3 < x - y < 12 - 5\)», то есть \(7 < x - y < 7\). Это бессмыслица: при \(x = 11\), \(y = 4\) разность равна 7, а при \(x = 11{,}9\), \(y = 3{,}1\) — уже 8,8. Почленное вычитание не является свойством неравенств.
Сначала оцените \(-y\): \(-5 < -y < -3\). Затем сложите: \(10 - 5 < x - y < 12 - 3\), то есть \(5 < x - y < 9\). Левая граница разности — «меньшее минус большее», правая — «большее минус меньшее».
Из \(-3 < a < -1\) и \(2 < b < 4\) пишут \(-6 < ab < -4\). Но при \(a = -2\), \(b = 3\) получаем \(ab = -6\), а это не больше \(-6\). Теорема о почленном умножении работает только для положительных чисел.
Перейдите к положительным числам: \(1 < -a < 3\), тогда \(2 < -ab < 12\). Умножив на \(-1\), получим \(-12 < ab < -2\).
Из \(6 < x < 8\) и \(2 < y < 4\) пишут \(\dfrac{6}{2} < \dfrac{x}{y} < \dfrac{8}{4}\), то есть \(3 < \dfrac{x}{y} < 2\) — левая граница больше правой, чего быть не может.
Оцените \(\dfrac{1}{y}\): \(\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{y} < \dfrac{1}{2}\), затем перемножьте: \(\dfrac{6}{4} < \dfrac{x}{y} < \dfrac{8}{2}\), то есть \(1{,}5 < \dfrac{x}{y} < 4\). Наименьшее частное — наименьшее делимое на наибольший делитель.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какое неравенство получится, если сложить почленно \(3 < 7\) и \(-4 < -1\)?
Показать ответ
Ответ: А) −1 < 6
\(3 + (-4) < 7 + (-1)\), то есть \(-1 < 6\).
-
Даны верные неравенства \(a < b\) и \(c < d\). Какие действия с ними всегда дают верное неравенство?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Почленное сложение; В) Почленное умножение, если a, b, c, d положительны
Вычитать неравенства почленно нельзя: \(1 < 5\) и \(0 < 10\) дают неверное \(1 < -5\). Умножать можно только при положительных частях: \(-1 < 2\) и \(-3 < 1\) дают неверное \(3 < 2\).
-
Известно, что \(2 < x < 3\) и \(5 < y < 7\). Оценка произведения имеет вид \(m < xy < M\). Найдите \(M\).
Показать ответ
Ответ: 21
Все границы положительны, перемножаем почленно: \(10 < xy < 21\).
-
Известно, что \(1 < y < 4\). Какая оценка верна для \(-y\)?
Показать ответ
Ответ: А) −4 < −y < −1
Умножаем на \(-1\) и меняем знаки: \(-1 > -y > -4\), то есть \(-4 < -y < -1\).
-
Известно, что \(10 < a < 12\) и \(3 < b < 5\). Оценка разности имеет вид \(m < a - b < M\). Найдите \(m\).
Показать ответ
Ответ: 5
Из \(3 < b < 5\) получаем \(-5 < -b < -3\). Складываем: \(5 < a - b < 9\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Сложите почленно неравенства \(7 > 3\) и \(-2 > -5\).
Подсказка
Знаки неравенств одинаковые — складывайте левые части с левыми, правые с правыми.
Решение
\(7 + (-2) > 3 + (-5)\), то есть \(5 > -2\).
Ответ
Известно, что \(2 < a < 5\) и \(1 < b < 3\). Оцените сумму \(a + b\).
Подсказка
Сложите отдельно левые границы и отдельно правые.
Решение
Складываем почленно: \(2 + 1 < a + b < 5 + 3\), то есть \(3 < a + b < 8\).
Ответ
Известно, что \(4 < x < 6\) и \(2 < y < 3\). Оцените разность \(x - y\).
Подсказка
Запишите \(x - y = x + (-y)\) и сначала оцените \(-y\).
Решение
Из \(2 < y < 3\) получаем \(-3 < -y < -2\). Складываем с \(4 < x < 6\) и получаем \(4 - 3 < x - y < 6 - 2\), то есть \(1 < x - y < 4\).
Ответ
Стороны прямоугольного стола измерили и получили (в дециметрах) \(12{,}3 < a < 12{,}4\) и \(8{,}1 < b < 8{,}2\). Оцените площадь стола.
Подсказка
Площадь равна \(ab\), все границы положительны.
Решение
Перемножаем почленно: \(12{,}3 \cdot 8{,}1 < ab < 12{,}4 \cdot 8{,}2\), то есть \(99{,}63 < S < 101{,}68\).
Ответ
Известно, что \(8 < x < 10\) и \(2 < y < 4\). Оцените частное \(\dfrac{x}{y}\).
Подсказка
Запишите \(\dfrac{x}{y} = x \cdot \dfrac{1}{y}\) и сначала оцените \(\dfrac{1}{y}\). Не забудьте, что при переходе к обратным числам знаки меняются.
Решение
Из \(2 < y < 4\) следует \(\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{y} < \dfrac{1}{2}\). Перемножаем с \(8 < x < 10\) и получаем \(8 \cdot \dfrac{1}{4} < \dfrac{x}{y} < 10 \cdot \dfrac{1}{2}\), то есть \(2 < \dfrac{x}{y} < 5\).
Ответ
Сторону квадратной плитки измерили: \(a = 3{,}5\) см с точностью до \(0{,}1\) см. Оцените площадь плитки.
Подсказка
Точность 0,1 см означает, что \(3{,}4 \leqslant a \leqslant 3{,}6\).
Решение
Из условия \(3{,}4 \leqslant a \leqslant 3{,}6\). Числа положительны, поэтому можно возвести в квадрат: \(3{,}4^2 \leqslant a^2 \leqslant 3{,}6^2\), то есть \(11{,}56 \leqslant S \leqslant 12{,}96\). Площадь около 12,25 см², но может отличаться почти на 0,7 см².
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Спросите: «В одном пакете от 3 до 4 яблок, в другом — от 5 до 7. Сколько всего?» Ребёнок сам скажет «от 8 до 11» — это и есть почленное сложение. Затем спросите, на сколько во втором пакете больше: ответ «от 1 до 4» (а не «от 2 до 3») показывает, что разность считают «крест-накрест». Для умножения подойдёт прямоугольная грядка, стороны которой известны примерно.
Вопросы для проверки понимания: 1) Можно ли почленно сложить \(5 > 2\) и \(1 < 3\)? (Нет, знаки разные.) 2) Почему нельзя перемножить \(-2 < 1\) и \(-5 < 3\)? 3) Если \(2 < y < 4\), между какими числами лежит \(\dfrac{1}{y}\)?
На что обратить внимание. Главные ошибки — почленное вычитание и деление неравенств и умножение без проверки положительности. Попросите ребёнка после каждой оценки проверить, что левая граница меньше правой, и подставить пару «крайних» чисел.