Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что сумма длин двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы длин его диагоналей.
Решение
Пусть \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник, его диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Докажем, что \(AB + CD < AC + BD\).
По неравенству треугольника для треугольника \(AOB\): \(AB < AO + OB\).
Для треугольника \(COD\): \(CD < CO + OD\).
Сложим почленно эти неравенства одного знака:
\[AB + CD < (AO + OC) + (BO + OD) = AC + BD.\]
Для другой пары сторон (\(BC\) и \(AD\)) рассуждение то же, с треугольниками \(BOC\) и \(AOD\).
Ответ
Доказано, AB + CD < AC + BD
Почему так
Две оценки по неравенству треугольника складываются почленно, а отрезки диагоналей собираются в целые диагонали.
Подробнее — в теме «Сложение и умножение числовых неравенств».