Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, § 36, упражнение 894

Задача 1

Условие (кратко)

Задача-исследование. Сравнить сумму длин медиан треугольника с его периметром (удвоить медиану BO, рассмотреть треугольник ABD и сложить неравенства).

Решение

Пусть $$BO$$ — медиана треугольника $$ABC$$ ( $$O$$ — середина $$AC$$ ), $$m_b = BO$$ . На луче $$BO$$ отложим $$OD = BO$$ и соединим $$D$$ с $$A$$ и $$C$$ .

Диагонали $$AC$$ и $$BD$$ четырёхугольника $$ABCD$$ точкой $$O$$ делятся пополам, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм. Поэтому $$AD = BC$$ .

В треугольнике $$ABD$$ по неравенству треугольника $$BD < AB + AD$$ , а $$BD = 2m_b$$ , $$AD = BC$$ . Получаем

\[2m_b < AB + BC.\]

Так же для двух других медиан:

2m_a < AB + AC, \qquad 2m_c < AC + BC.

Сложим три неравенства почленно:

\[2(m_a + m_b + m_c) < 2(AB + BC + AC),\]

то есть

\(m_a + m_b + m_c < P\)

, где

\(P\)

— периметр.

Сумма медиан треугольника меньше его периметра.

Ответ

Сумма медиан меньше периметра, ma + mb + mc < P

Почему так

Удвоенная медиана — диагональ параллелограмма, она меньше суммы двух сторон; три таких неравенства складываются почленно.

Подробнее — в теме «Сложение и умножение числовых неравенств».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Упражнение 894 к § 36

Задача 1

Похожие задачи для тренировки