Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 39

Упражнение 953 к § 39

§ 39. Решение неравенств с одной переменной · тема: Решение неравенств с одной переменной

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить неравенство (3 + x)/4 + (2 − x)/3 < 0.

Решение

Умножим обе части на общий знаменатель 12 (число положительное, знак неравенства сохраняется):

$$3(3 + x) + 4(2 - x) < 0$$ ,

$$9 + 3x + 8 - 4x < 0$$ ,

$$17 - x < 0$$ ,

$$-x < -17$$ .

Делим на $$-1$$ и меняем знак неравенства: $$x > 17$$ .

Ответ

(17; +∞)

Почему так

Неравенство с дробями умножают на общий знаменатель, а при делении на отрицательное число меняют знак неравенства.

Подробнее — в теме «Решение неравенств с одной переменной».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить неравенство (4 − y)/5 − 5y ≥ 0.

Решение

Умножим обе части на 5:

$4 - y - 25y \geqslant 0$ ,

$-26y \geqslant -4$ .

Делим на $$-26$$ и меняем знак: $y \leqslant \dfrac{4}{26}$ , т. е. $y \leqslant \dfrac{2}{13}$ .

Ответ

(−∞; 2/13]

Почему так

После умножения на знаменатель получается линейное неравенство; деление на отрицательный коэффициент меняет знак.

Подробнее — в теме «Решение неравенств с одной переменной».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить неравенство y − (2y − 1)/4 ≥ 1.

Решение

Умножим обе части на 4:

$4y - (2y - 1) \geqslant 4$ ,

$4y - 2y + 1 \geqslant 4$ ,

$2y \geqslant 3$ ,

$y \geqslant 1{,}5$ .

Ответ

[1,5; +∞)

Почему так

Минус перед дробью меняет знаки всех членов числителя, когда дробь умножают на знаменатель.

Подробнее — в теме «Решение неравенств с одной переменной».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить неравенство x − (x − 3)/5 + (2x − 1)/10 ≤ 4.

Решение

Умножим обе части на 10:

$10x - 2(x - 3) + (2x - 1) \leqslant 40$ ,

$10x - 2x + 6 + 2x - 1 \leqslant 40$ ,

$10x + 5 \leqslant 40$ ,

$10x \leqslant 35$ ,

$x \leqslant 3{,}5$ .

Ответ

(−∞; 3,5]

Почему так

Умножение на положительное число 10 избавляет от дробей и не меняет знак неравенства.

Подробнее — в теме «Решение неравенств с одной переменной».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить неравенство (y − 1)/2 − 1 + (2y − 1)/6 > y.

Решение

Умножим обе части на 6:

$$3(y - 1) - 6 + (2y - 1) > 6y$$ ,

$$3y - 3 - 6 + 2y - 1 > 6y$$ ,

$$5y - 10 > 6y$$ ,

$$-y > 10$$ ,

$$y < -10$$ .

Ответ

(−∞; −10)

Почему так

Слагаемое без знаменателя тоже умножают на общий знаменатель 6.

Подробнее — в теме «Решение неравенств с одной переменной».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить неравенство p − (p − 1)/2 − (p + 3)/4 > 2.

Решение

Умножим обе части на 4:

$$4p - 2(p - 1) - (p + 3) > 8$$ ,

$$4p - 2p + 2 - p - 3 > 8$$ ,

$$p - 1 > 8$$ ,

$$p > 9$$ .

Ответ

(9; +∞)

Почему так

После умножения на общий знаменатель неравенство становится линейным.

Подробнее — в теме «Решение неравенств с одной переменной».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки