§ 39. Решение неравенств с одной переменной · тема: Решение неравенств с одной переменной
а) При каких значениях x имеет смысл выражение √(2x − 4)?
Квадратный корень имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:
\(2x - 4 \geqslant 0\), \(2x \geqslant 4\), \(x \geqslant 2\).
Арифметический квадратный корень определён только для неотрицательных чисел.
Подробнее — в теме «Решение неравенств с одной переменной».
б) При каких значениях a имеет смысл выражение √(4 − 6a)?
Нужно \(4 - 6a \geqslant 0\):
\(-6a \geqslant -4\).
Делим на \(-6\) и меняем знак: \(a \leqslant \dfrac{4}{6}\), т. е. \(a \leqslant \dfrac{2}{3}\).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным; при делении на −6 знак неравенства меняется.
Подробнее — в теме «Решение неравенств с одной переменной».
в) При каких значениях a имеет смысл выражение √((1 + 3a)/25)?
Нужно \(\dfrac{1 + 3a}{25} \geqslant 0\). Знаменатель 25 положителен, поэтому достаточно
\(1 + 3a \geqslant 0\), \(3a \geqslant -1\), \(a \geqslant -\dfrac{1}{3}\).
Дробь с положительным знаменателем неотрицательна тогда, когда неотрицателен её числитель.
Подробнее — в теме «Решение неравенств с одной переменной».
г) При каких значениях a имеет смысл выражение √((7 − 5a)/8)?
Нужно \(\dfrac{7 - 5a}{8} \geqslant 0\), т. е. \(7 - 5a \geqslant 0\):
\(-5a \geqslant -7\), \(a \leqslant 1{,}4\).
Знаменатель положителен, поэтому решаем неравенство для числителя; деление на −5 меняет знак.
Подробнее — в теме «Решение неравенств с одной переменной».
д) При каких значениях x имеет смысл выражение √(−3(1 − 5x))?
Нужно \(-3(1 - 5x) \geqslant 0\). Раскроем скобки:
\(-3 + 15x \geqslant 0\), \(15x \geqslant 3\), \(x \geqslant 0{,}2\).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным — это линейное неравенство.
Подробнее — в теме «Решение неравенств с одной переменной».
е) При каких значениях x имеет смысл выражение √(−(6 − x))?
Нужно \(-(6 - x) \geqslant 0\), т. е. \(x - 6 \geqslant 0\), \(x \geqslant 6\).
Минус перед скобкой меняет знаки, и подкоренное выражение равно x − 6.
Подробнее — в теме «Решение неравенств с одной переменной».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p39/upr-958/