Задача 1
Условие (кратко)
Найти множество значений k, при которых уравнение (k − 4)x² + 16x − 24 = 0 имеет два корня.
Решение
Два корня может иметь только квадратное уравнение, поэтому \(k - 4 \ne 0\), т. е. \(k \ne 4\) (при \(k = 4\) уравнение \(16x - 24 = 0\) имеет один корень).
Нужно, чтобы дискриминант был положителен. Второй коэффициент чётный, \(D_1 = \dfrac{D}{4}\):
\(D_1 = 8^2 - (k - 4)\cdot(-24) = 64 + 24(k - 4) = 24k - 32\).
\(24k - 32 > 0\), \(k > \dfrac{32}{24} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}\).
Из промежутка \(\left(1\dfrac{1}{3};\ +\infty\right)\) выкалываем \(k = 4\).
Ответ
(1 1/3; 4) ∪ (4; +∞)
Почему так
Два корня — при положительном дискриминанте и ненулевом старшем коэффициенте.
Подробнее — в теме «Решение неравенств с одной переменной».