Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 4

Упражнение 101 к § 4

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что выражения 3/(a² − 3a) + a²/(a − 3) и a + 3 + (9a + 3)/(a² − 3a) тождественно равны.

Решение

Первое выражение (общий знаменатель $$a(a - 3)$$ ):

\dfrac{3}{a(a - 3)} + \dfrac{a^2 \cdot a}{a(a - 3)} = \dfrac{a^3 + 3}{a^2 - 3a}.

Второе выражение:

\dfrac{(a + 3)(a^2 - 3a) + 9a + 3}{a^2 - 3a} = \dfrac{a^3 - 9a + 9a + 3}{a^2 - 3a} = \dfrac{a^3 + 3}{a^2 - 3a}.

Оба выражения равны одной и той же дроби при всех

a \ne 0

a \ne 3

, значит, они тождественно равны.

Ответ

Тождество доказано; оба выражения равны (a³ + 3)/(a² − 3a)

Почему так

Чтобы доказать тождественное равенство, оба выражения приводят к одной дроби.

Условие (кратко)

б) Доказать, что выражения a³/(a² − 4) − a/(a − 2) − 2/(a + 2) и a − 1 тождественно равны.

Решение

Общий знаменатель $$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$$ :

\dfrac{a^3 - a(a + 2) - 2(a - 2)}{a^2 - 4} = \dfrac{a^3 - a^2 - 4a + 4}{a^2 - 4}.

Числитель разложим группировкой:

\(a^2(a - 1) - 4(a - 1) = (a - 1)(a^2 - 4)\)

. Тогда

\dfrac{(a - 1)(a^2 - 4)}{a^2 - 4} = a - 1 \quad (a \ne \pm 2).

Ответ

Тождество доказано

Почему так

Левая часть после приведения к общему знаменателю и группировки сокращается до a − 1.