Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 4

Упражнение 102 к § 4

§ 4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями · тема: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Задача 1

Условие (кратко)

а) (Работа в парах.) Доказать, что при допустимых x выражение (x³ + 3x)/(x + 2) − (3x² − 14x + 16)/(x² − 4) + 2x положительно; указать допустимые значения.

Решение

Допустимые значения: $x^2 - 4 \ne 0$ , то есть $x \ne 2$ и $x \ne -2$ .

$$3x^2 - 14x + 16 = (3x - 8)(x - 2)$$ , поэтому $\dfrac{3x^2 - 14x + 16}{x^2 - 4} = \dfrac{3x - 8}{x + 2}$ . Тогда

\dfrac{x^3 + 3x - (3x - 8)}{x + 2} + 2x = \dfrac{x^3 + 8}{x + 2} + 2x = x^2 - 2x + 4 + 2x = x^2 + 4.

Здесь

\(x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)\)

. Так как

x^2 \ge 0

, то

x^2 + 4 \ge 4 > 0

Условие о допустимых значениях нужно потому, что при $x = \pm 2$ исходное выражение не имеет смысла, хотя $$x^2 + 4$$ при них вычисляется.

Ответ

Выражение равно x² + 4 > 0; допустимые значения x ≠ 2, x ≠ −2

Почему так

Выражение упрощается до x² + 4, а квадрат плюс положительное число всегда положителен.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 2

Условие (кратко)

б) (Работа в парах.) Доказать, что при допустимых y выражение y + (2y² + 3y + 1)/(y² − 1) − (y³ + 2y)/(y − 1) отрицательно; указать допустимые значения.

Решение

Допустимые значения: $y^2 - 1 \ne 0$ , то есть $y \ne 1$ и $y \ne -1$ .

$$2y^2 + 3y + 1 = (2y + 1)(y + 1)$$ , поэтому $\dfrac{2y^2 + 3y + 1}{y^2 - 1} = \dfrac{2y + 1}{y - 1}$ . Тогда

y + \dfrac{2y + 1 - y^3 - 2y}{y - 1} = y + \dfrac{1 - y^3}{y - 1} = y - \dfrac{(y - 1)(y^2 + y + 1)}{y - 1} = y - y^2 - y - 1 = -y^2 - 1.

Так как

y^2 \ge 0

, то

-y^2 - 1 \le -1 < 0

Ответ

Выражение равно −y² − 1 < 0; допустимые значения y ≠ 1, y ≠ −1

Почему так

После упрощения получается −(y² + 1), а это число всегда отрицательно.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки