Задача 1
Условие (кратко)
Доказать тождество 1/(x+n) − 1/(x+n+1) = 1/((x+n)(x+n+1)) и с его помощью упростить 1/((x+1)(x+2)) + 1/((x+2)(x+3)) + 1/((x+3)(x+4)).
Решение
Доказательство. Общий знаменатель \((x + n)(x + n + 1)\):
\[\dfrac{1}{x + n} - \dfrac{1}{x + n + 1} = \dfrac{(x + n + 1) - (x + n)}{(x + n)(x + n + 1)} = \dfrac{1}{(x + n)(x + n + 1)}.\]
Упрощение. По тождеству при \(n = 1, 2, 3\) каждая дробь — разность:
\[\left(\dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 2}\right) + \left(\dfrac{1}{x + 2} - \dfrac{1}{x + 3}\right) + \left(\dfrac{1}{x + 3} - \dfrac{1}{x + 4}\right).\]
Средние слагаемые взаимно уничтожаются:
\[\dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 4} = \dfrac{x + 4 - x - 1}{(x + 1)(x + 4)} = \dfrac{3}{(x + 1)(x + 4)}.\]
Ответ
Тождество доказано; сумма равна 3/((x + 1)(x + 4))
Почему так
Каждую дробь заменяют разностью двух дробей, и почти все слагаемые взаимно сокращаются.
Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».