Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, § 4, упражнение 78

Задача 1

Условие (кратко)

а) Выполнить действие: b/a² − 1/a.

Решение

Общий знаменатель $$a^2$$ , дополнительный множитель второй дроби $$a$$ :

\dfrac{b}{a^2} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{b - a}{a^2}.

Ответ

(b − a)/a²

Почему так

Дроби с разными знаменателями приводят к общему знаменателю с помощью дополнительных множителей, затем складывают или вычитают числители.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Выполнить действие: (1 − x)/x³ + 1/x².

Решение

Общий знаменатель $$x^3$$ , дополнительный множитель второй дроби $$x$$ :

\dfrac{1 - x}{x^3} + \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1 - x + x}{x^3} = \dfrac{1}{x^3}.

Ответ

1/x³

Почему так

Дроби с разными знаменателями приводят к общему знаменателю с помощью дополнительных множителей, затем складывают или вычитают числители.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Выполнить действие: 1/(2a⁷) + (4 − 2a³)/a¹⁰.

Решение

Общий знаменатель $2a^{10}$ , дополнительные множители $$a^3$$ и $$2$$ :

\dfrac{1}{2a^7} + \dfrac{4 - 2a^3}{a^{10}} = \dfrac{a^3 + 2(4 - 2a^3)}{2a^{10}} = \dfrac{a^3 + 8 - 4a^3}{2a^{10}} = \dfrac{8 - 3a^3}{2a^{10}}.

Ответ

(8 − 3a³)/(2a¹⁰)

Почему так

Дроби с разными знаменателями приводят к общему знаменателю с помощью дополнительных множителей, затем складывают или вычитают числители.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Выполнить действие: (a + b)/a² + (a − b)/(ab).

Решение

Общий знаменатель $$a^2b$$ , дополнительные множители $$b$$ и $$a$$ :

\dfrac{b(a + b) + a(a - b)}{a^2b} = \dfrac{ab + b^2 + a^2 - ab}{a^2b} = \dfrac{a^2 + b^2}{a^2b}.

Ответ

(a² + b²)/(a²b)

Почему так

Дроби с разными знаменателями приводят к общему знаменателю с помощью дополнительных множителей, затем складывают или вычитают числители.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Выполнить действие: (2a − 3b)/(a²b) − (4a − 5b)/(ab²).

Решение

Общий знаменатель $$a^2b^2$$ , дополнительные множители $$b$$ и $$a$$ :

\dfrac{b(2a - 3b) - a(4a - 5b)}{a^2b^2} = \dfrac{2ab - 3b^2 - 4a^2 + 5ab}{a^2b^2} = \dfrac{7ab - 4a^2 - 3b^2}{a^2b^2}.

В ответах учебника указано $\dfrac{4a^2 - 3ab - 3b^2}{a^2b^2}$ — это опечатка: например, при $$a = b = 1$$ исходное выражение равно $$-1 - (-1) = 0$$ , и наш ответ даёт $\dfrac{7 - 4 - 3}{1} = 0$ , а ответ учебника даёт $$-2$$ .

Ответ

(7ab − 4a² − 3b²)/(a²b²)

Почему так

Дроби с разными знаменателями приводят к общему знаменателю с помощью дополнительных множителей, затем складывают или вычитают числители.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Выполнить действие: (x − 2y)/(xy²) − (2y − x)/(x²y).

Решение

Общий знаменатель $$x^2y^2$$ , дополнительные множители $$x$$ и $$y$$ :

\dfrac{x(x - 2y) - y(2y - x)}{x^2y^2} = \dfrac{x^2 - 2xy - 2y^2 + xy}{x^2y^2} = \dfrac{x^2 - xy - 2y^2}{x^2y^2}.

Ответ

(x² − xy − 2y²)/(x²y²)

Почему так

Дроби с разными знаменателями приводят к общему знаменателю с помощью дополнительных множителей, затем складывают или вычитают числители.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Упражнение 78 к § 4

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки