Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 4

Упражнение 95 к § 4

§ 4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями · тема: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Задача 1

Условие (кратко)

а) Преобразовать в дробь выражение (b − 6)/(4 − b²) + 2/(2b − b²).

Решение

$$4 - b^2 = (2 - b)(2 + b)$$ , $$2b - b^2 = b(2 - b)$$ . Общий знаменатель $$b(2 - b)(2 + b)$$ :

\dfrac{b(b - 6) + 2(2 + b)}{b(2 - b)(2 + b)} = \dfrac{b^2 - 4b + 4}{b(2 - b)(2 + b)} = \dfrac{(2 - b)^2}{b(2 - b)(2 + b)} = \dfrac{2 - b}{b^2 + 2b}.

Ответ

(2 − b)/(b² + 2b)

Почему так

Квадрат (b − 2)² равен (2 − b)², поэтому дробь сокращается на 2 − b.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Преобразовать в дробь выражение b/(ab − 5a²) − (15b − 25a)/(b² − 25a²).

Решение

$$ab - 5a^2 = a(b - 5a)$$ , $$b^2 - 25a^2 = (b - 5a)(b + 5a)$$ . Общий знаменатель $$a(b - 5a)(b + 5a)$$ :

\dfrac{b(b + 5a) - a(15b - 25a)}{a(b - 5a)(b + 5a)} = \dfrac{b^2 - 10ab + 25a^2}{a(b - 5a)(b + 5a)} = \dfrac{(b - 5a)^2}{a(b - 5a)(b + 5a)} = \dfrac{b - 5a}{ab + 5a^2}.

Ответ

(b − 5a)/(ab + 5a²)

Почему так

После приведения к общему знаменателю числитель — полный квадрат, и дробь сокращается.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Преобразовать в дробь выражение (x − 12a)/(x² − 16a²) − 4a/(4ax − x²).

Решение

$$4ax - x^2 = -x(x - 4a)$$ , поэтому $-\dfrac{4a}{4ax - x^2} = +\dfrac{4a}{x(x - 4a)}$ . Общий знаменатель $$x(x - 4a)(x + 4a)$$ :

\dfrac{x(x - 12a) + 4a(x + 4a)}{x(x - 4a)(x + 4a)} = \dfrac{x^2 - 8ax + 16a^2}{x(x - 4a)(x + 4a)} = \dfrac{(x - 4a)^2}{x(x - 4a)(x + 4a)} = \dfrac{x - 4a}{x^2 + 4ax}.

Ответ

(x − 4a)/(x² + 4ax)

Почему так

Смена знака в знаменателе меняет знак перед дробью — так знаменатели получают общий множитель x − 4a.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Преобразовать в дробь выражение (a − 30y)/(a² − 100y²) − 10y/(10ay − a²).

Решение

$$10ay - a^2 = -a(a - 10y)$$ , поэтому вычитание второй дроби заменяем сложением $\dfrac{10y}{a(a - 10y)}$ . Общий знаменатель $$a(a - 10y)(a + 10y)$$ :

\dfrac{a(a - 30y) + 10y(a + 10y)}{a(a - 10y)(a + 10y)} = \dfrac{a^2 - 20ay + 100y^2}{a(a - 10y)(a + 10y)} = \dfrac{(a - 10y)^2}{a(a - 10y)(a + 10y)} = \dfrac{a - 10y}{a^2 + 10ay}.

Ответ

(a − 10y)/(a² + 10ay)

Почему так

Вынесение минуса из знаменателя приводит знаменатели к общему множителю a − 10y.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки