Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 4

Упражнение 96 к § 4

§ 4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями · тема: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Задача 1

Условие (кратко)

а) Выполнить действие (a + 4)/(a² − 2a) − a/(a² − 4).

Решение

\(a^2 - 2a = a(a - 2)\), \(a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)\). Общий знаменатель \(a(a - 2)(a + 2) = a^3 - 4a\):

\[\dfrac{(a + 4)(a + 2) - a \cdot a}{a(a - 2)(a + 2)} = \dfrac{a^2 + 6a + 8 - a^2}{a^3 - 4a} = \dfrac{6a + 8}{a^3 - 4a}.\]

Ответ
(6a + 8)/(a³ − 4a)
Почему так

Общий знаменатель составлен из множителей a, a − 2 и a + 2.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Выполнить действие (4 − x²)/(16 − x²) − (x + 1)/(x + 4).

Решение

Умножив числитель и знаменатель первой дроби на \(-1\), получим \(\dfrac{4 - x^2}{16 - x^2} = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 16}\), где \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\). Дополнительный множитель ко второй дроби — \(x - 4\):

\[\dfrac{x^2 - 4 - (x + 1)(x - 4)}{x^2 - 16} = \dfrac{x^2 - 4 - x^2 + 3x + 4}{x^2 - 16} = \dfrac{3x}{x^2 - 16}.\]

Ответ
3x/(x² − 16)
Почему так

Знаменатель 16 − x² раскладывается на (4 − x)(4 + x), второй знаменатель — его множитель.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Выполнить действие (a + b)²/(a² + ab) + (a − b)²/(a² − ab).

Решение

Сначала сократим каждую дробь:

\[\dfrac{(a + b)^2}{a(a + b)} = \dfrac{a + b}{a}, \qquad \dfrac{(a - b)^2}{a(a - b)} = \dfrac{a - b}{a}.\]
Знаменатели стали одинаковыми:
\[\dfrac{a + b + a - b}{a} = \dfrac{2a}{a} = 2.\]
Значение равно 2 при всех допустимых значениях (\(a \ne 0\), \(a \ne \pm b\)).

Ответ
2
Почему так

Удобно сначала сократить каждую дробь, а потом складывать.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Выполнить действие (x² − 4)/(5x − 10) − (x² + 4x + 4)/(5x + 10).

Решение

Сократим каждую дробь:

\[\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{5(x - 2)} = \dfrac{x + 2}{5}, \qquad \dfrac{(x + 2)^2}{5(x + 2)} = \dfrac{x + 2}{5}.\]
Разность равных дробей: \(\dfrac{x + 2}{5} - \dfrac{x + 2}{5} = 0\) (при \(x \ne \pm 2\)).

Ответ
0
Почему так

После сокращения обе дроби совпадают, поэтому разность равна нулю.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Похожие задачи для тренировки

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

Опечатка, неверный ответ, непонятное объяснение — напишите, что не так. Мы проверим и исправим.

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p4/upr-96/