Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 4

Упражнение 97 к § 4

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить выражение (x + 1)/(x² − x) − (x + 2)/(x² − 1) и найти его значение при x = −1,5.

Решение

$$x^2 - x = x(x - 1)$$ , $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ . Общий знаменатель $$x(x - 1)(x + 1) = x^3 - x$$ :

\dfrac{(x + 1)^2 - x(x + 2)}{x(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{x^2 + 2x + 1 - x^2 - 2x}{x^3 - x} = \dfrac{1}{x^3 - x}.

При

\(x = -1{,}5\)

имеем

x^3 - x = -3{,}375 + 1{,}5 = -1{,}875 = -\dfrac{15}{8}

, значит, значение равно

-\dfrac{8}{15}

Ответ

1/(x³ − x); при x = −1,5 значение −8/15

Почему так

Сначала упрощаем, потом подставляем — так вычисления намного короче.

Условие (кратко)

б) Упростить выражение (x + 2)/(x² + 3x) − (1 + x)/(x² − 9) и найти его значение при x = −1,5.

Решение

$$x^2 + 3x = x(x + 3)$$ , $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$ . Общий знаменатель $$x(x - 3)(x + 3)$$ :

\dfrac{(x + 2)(x - 3) - x(x + 1)}{x(x - 3)(x + 3)} = \dfrac{x^2 - x - 6 - x^2 - x}{x(x - 3)(x + 3)} = \dfrac{-2(x + 3)}{x(x - 3)(x + 3)} = -\dfrac{2}{x^2 - 3x}.

При

\(x = -1{,}5\)

имеем

x^2 - 3x = 2{,}25 + 4{,}5 = 6{,}75 = \dfrac{27}{4}

, значение равно

-2 \cdot \dfrac{4}{27} = -\dfrac{8}{27}

Ответ

−2/(x² − 3x); при x = −1,5 значение −8/27

Почему так

После сокращения на x + 3 выражение становится простым, и подстановка занимает одну строку.