Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 4

Упражнение 98 к § 4

§ 4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями · тема: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Задача 1

Условие (кратко)

а) Представить в виде дроби 4/(y + 2) − 3/(y − 2) + 12/(y² − 4).

Решение

Общий знаменатель $$y^2 - 4 = (y - 2)(y + 2)$$ :

\dfrac{4(y - 2) - 3(y + 2) + 12}{(y - 2)(y + 2)} = \dfrac{4y - 8 - 3y - 6 + 12}{(y - 2)(y + 2)} = \dfrac{y - 2}{(y - 2)(y + 2)} = \dfrac{1}{y + 2}.

Ответ

1/(y + 2)

Почему так

Знаменатель третьей дроби — произведение двух первых, он и есть общий.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Представить в виде дроби a/(a − 6) − 3/(a + 6) + a²/(36 − a²).

Решение

$\dfrac{a^2}{36 - a^2} = -\dfrac{a^2}{a^2 - 36}$ . Общий знаменатель $$a^2 - 36 = (a - 6)(a + 6)$$ :

\dfrac{a(a + 6) - 3(a - 6) - a^2}{(a - 6)(a + 6)} = \dfrac{3a + 18}{(a - 6)(a + 6)} = \dfrac{3(a + 6)}{(a - 6)(a + 6)} = \dfrac{3}{a - 6}.

Ответ

3/(a − 6)

Почему так

Знаменатель 36 − a² отличается от a² − 36 только знаком, поэтому знак перед дробью меняем.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Представить в виде дроби x²/(x − y)² − (x + y)/(2x − 2y).

Решение

$$2x - 2y = 2(x - y)$$ . Общий знаменатель $$2(x - y)^2$$ ; к первой дроби множитель 2, ко второй — $$x - y$$ :

\dfrac{2x^2 - (x + y)(x - y)}{2(x - y)^2} = \dfrac{2x^2 - x^2 + y^2}{2(x - y)^2} = \dfrac{x^2 + y^2}{2(x - y)^2}.

Ответ

(x² + y²)/(2(x − y)²)

Почему так

В общий знаменатель множитель x − y входит в наибольшей степени — во второй.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Представить в виде дроби b/(a − b)² − (a + b)/(b² − ab).

Решение

$$b^2 - ab = -b(a - b)$$ , поэтому $-\dfrac{a + b}{b^2 - ab} = +\dfrac{a + b}{b(a - b)}$ . Общий знаменатель $$b(a - b)^2$$ :

\dfrac{b \cdot b + (a + b)(a - b)}{b(a - b)^2} = \dfrac{b^2 + a^2 - b^2}{b(a - b)^2} = \dfrac{a^2}{b(a - b)^2}.

Так как

\((a - b)^2 = (b - a)^2\)

, ответ можно записать и как

\dfrac{a^2}{b(b - a)^2}

Ответ

a²/(b(a − b)²)

Почему так

Минус из знаменателя второй дроби меняет вычитание на сложение.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки