Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 4

Упражнение 99 к § 4

§ 4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями · тема: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Задача 1

Условие (кратко)

а) Преобразовать в дробь (2a + b)/(2a² − ab) − 16a/(4a² − b²) − (2a − b)/(2a² + ab).

Решение

\(2a^2 - ab = a(2a - b)\), \(4a^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b)\), \(2a^2 + ab = a(2a + b)\). Общий знаменатель \(a(2a - b)(2a + b)\):

\[\dfrac{(2a + b)^2 - 16a \cdot a - (2a - b)^2}{a(2a - b)(2a + b)}.\]
Числитель: \((2a + b)^2 - (2a - b)^2 - 16a^2 = 8ab - 16a^2 = -8a(2a - b)\). Тогда
\[\dfrac{-8a(2a - b)}{a(2a - b)(2a + b)} = -\dfrac{8}{2a + b}.\]

Ответ
−8/(2a + b)
Почему так

Разность квадратов (2a + b)² − (2a − b)² сразу даёт 8ab, после чего дробь сокращается.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Преобразовать в дробь 1/(a − 3)² − 2/(a² − 9) + 1/(a + 3)².

Решение

Общий знаменатель \((a - 3)^2(a + 3)^2\); дополнительные множители: \((a + 3)^2\), \((a - 3)(a + 3)\), \((a - 3)^2\).

\[\dfrac{(a + 3)^2 - 2(a^2 - 9) + (a - 3)^2}{(a - 3)^2(a + 3)^2} = \dfrac{a^2 + 6a + 9 - 2a^2 + 18 + a^2 - 6a + 9}{(a - 3)^2(a + 3)^2} = \dfrac{36}{(a - 3)^2(a + 3)^2}.\]

Ответ
36/((a − 3)²(a + 3)²)
Почему так

Каждый множитель a − 3 и a + 3 входит в общий знаменатель во второй степени.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Преобразовать в дробь (x − 2)/(x² + 2x + 4) − 6x/(x³ − 8) + 1/(x − 2).

Решение

\(x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\) — это общий знаменатель:

\[\dfrac{(x - 2)^2 - 6x + (x^2 + 2x + 4)}{x^3 - 8} = \dfrac{x^2 - 4x + 4 - 6x + x^2 + 2x + 4}{x^3 - 8} = \dfrac{2x^2 - 8x + 8}{x^3 - 8}.\]
\(2x^2 - 8x + 8 = 2(x - 2)^2\), поэтому
\[\dfrac{2(x - 2)^2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \dfrac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4}.\]

Ответ
(2x − 4)/(x² + 2x + 4)
Почему так

Разность кубов x³ − 8 содержит оба других знаменателя как множители.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Преобразовать в дробь (2a² + 7a + 3)/(a³ − 1) − (1 − 2a)/(a² + a + 1) − 3/(a − 1).

Решение

\(a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)\) — общий знаменатель:

\[\dfrac{2a^2 + 7a + 3 - (1 - 2a)(a - 1) - 3(a^2 + a + 1)}{a^3 - 1}.\]
\((1 - 2a)(a - 1) = -2a^2 + 3a - 1\). Числитель: \(2a^2 + 7a + 3 + 2a^2 - 3a + 1 - 3a^2 - 3a - 3 = a^2 + a + 1\).
\[\dfrac{a^2 + a + 1}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \dfrac{1}{a - 1}.\]

Ответ
1/(a − 1)
Почему так

Знаменатель a³ − 1 раскладывается по формуле разности кубов, и числитель сокращается с неполным квадратом суммы.

Подробнее — в теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Похожие задачи для тренировки

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

Опечатка, неверный ответ, непонятное объяснение — напишите, что не так. Мы проверим и исправим.

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p4/upr-99/