Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 40

Упражнение 983 к § 40

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти область определения функции y = (x − 2)/(√(x + 6) − √(2x − 5)).

Решение

Нужно, чтобы оба корня существовали и знаменатель не был равен нулю.

\begin{cases} x + 6 \geqslant 0, \\ 2x - 5 \geqslant 0. \end{cases}

\begin{cases} x \geqslant -6, \\ x \geqslant 2{,}5. \end{cases}

Общая часть — $x \geqslant 2{,}5$ .

Знаменатель равен нулю, когда $\sqrt{x + 6} = \sqrt{2x - 5}$ , то есть $$x + 6 = 2x - 5$$ , $$x = 11$$ . Это значение исключаем.

Проверка: при $$x = 11$$ знаменатель $\sqrt{17} - \sqrt{17} = 0$ .

Ответ

[2,5; 11) ∪ (11; +∞)

Почему так

Область определения — значения x, при которых корни имеют смысл (система неравенств) и знаменатель не равен нулю.

Условие (кратко)

б) Найти область определения функции y = 6/(√(2x − 1) − √(x + 1)).

Решение

\begin{cases} 2x - 1 \geqslant 0, \\ x + 1 \geqslant 0. \end{cases}

\begin{cases} x \geqslant 0{,}5, \\ x \geqslant -1. \end{cases}

Общая часть — $x \geqslant 0{,}5$ .

Знаменатель равен нулю, когда $$2x - 1 = x + 1$$ , то есть $$x = 2$$ . Это значение исключаем.

Проверка: при $$x = 2$$ знаменатель $\sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$ .

Ответ

[0,5; 2) ∪ (2; +∞)

Почему так