Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 40

Упражнение 989 к § 40

§ 40. Решение систем неравенств с одной переменной · тема: Решение систем неравенств с одной переменной

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему неравенств: x/3 + x/4 < 7, 1 − x/6 > 0.

Решение

Решим каждое неравенство системы.

Первое: умножим обе части на 12, $$4x + 3x < 84$$ , $$7x < 84$$ , $$x < 12$$ .

Второе: $-\dfrac{x}{6} > -1$ , умножим на $$-6$$ и сменим знак неравенства, $$x < 6$$ .

Общая часть промежутков $(-\infty;\ 12)$ и $(-\infty;\ 6)$ — это $(-\infty;\ 6)$ .

Ответ

(−∞; 6)

Почему так

Решение системы — пересечение множеств решений всех её неравенств.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить систему неравенств: y − (y − 1)/2 > 1, y/3 < 5.

Решение

Первое неравенство умножим на 2: $$2y - (y - 1) > 2$$ , $$2y - y + 1 > 2$$ , $$y > 1$$ .

Второе: $$y < 15$$ .

Пересечение промежутков $(1;\ +\infty)$ и $(-\infty;\ 15)$ — промежуток $(1;\ 15)$ .

Ответ

(1; 15)

Почему так

Решение системы — пересечение множеств решений всех её неравенств.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить систему неравенств: (3x − 1)/2 − x ≤ 2, 2x − x/3 ≥ 1.

Решение

Первое неравенство умножим на 2: $3x - 1 - 2x \leqslant 4$ , $x \leqslant 5$ .

Второе умножим на 3: $6x - x \geqslant 3$ , $5x \geqslant 3$ , $x \geqslant 0{,}6$ .

Пересечение: $0{,}6 \leqslant x \leqslant 5$ , то есть $[0{,}6;\ 5]$ .

Ответ

[0,6; 5]

Почему так

Решение системы — пересечение множеств решений всех её неравенств.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить систему неравенств: 2p − (p − 2)/5 > 4, p/2 − p/8 ≤ 6.

Решение

Первое неравенство умножим на 5: $$10p - (p - 2) > 20$$ , $$9p + 2 > 20$$ , $$9p > 18$$ , $$p > 2$$ .

Второе умножим на 8: $4p - p \leqslant 48$ , $3p \leqslant 48$ , $p \leqslant 16$ .

Пересечение: $2 < p \leqslant 16$ , то есть $(2;\ 16]$ .

Ответ

(2; 16]

Почему так

Решение системы — пересечение множеств решений всех её неравенств.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки