Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 40

Упражнение 990 к § 40

§ 40. Решение систем неравенств с одной переменной · тема: Решение систем неравенств с одной переменной

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему неравенств: (x − 1)/2 − (x − 3)/3 < 2, (13x − 1)/2 > 0.

Решение

Первое неравенство умножим на 6: $$3(x - 1) - 2(x - 3) < 12$$ , $$3x - 3 - 2x + 6 < 12$$ , $$x + 3 < 12$$ , $$x < 9$$ .

Второе: $$13x - 1 > 0$$ , $x > \dfrac{1}{13}$ .

Пересечение: $\dfrac{1}{13} < x < 9$ .

Ответ

(1/13; 9)

Почему так

Решение системы — пересечение множеств решений всех её неравенств.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить систему неравенств: (3x + 1)/2 < −1, x/2 − 1 < x.

Решение

Первое неравенство умножим на 2: $$3x + 1 < -2$$ , $$3x < -3$$ , $$x < -1$$ .

Второе умножим на 2: $$x - 2 < 2x$$ , $$-2 < x$$ , то есть $$x > -2$$ .

Пересечение: $$-2 < x < -1$$ .

Ответ

(−2; −1)

Почему так

Решение системы — пересечение множеств решений всех её неравенств.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить систему неравенств: 4 − (y − 1)/3 ≥ y, (7y − 1)/8 ≥ 6.

Решение

Первое неравенство умножим на 3: $12 - (y - 1) \geqslant 3y$ , $13 - y \geqslant 3y$ , $13 \geqslant 4y$ , $y \leqslant 3{,}25$ .

Второе умножим на 8: $7y - 1 \geqslant 48$ , $7y \geqslant 49$ , $y \geqslant 7$ .

Число не может быть одновременно не больше $$3{,}25$$ и не меньше $$7$$ : промежутки $(-\infty;\ 3{,}25]$ и $[7;\ +\infty)$ не пересекаются.

Ответ

Решений нет

Почему так

Если множества решений неравенств не пересекаются, система не имеет решений.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить систему неравенств: (5a + 8)/3 − a ≥ 2a, 1 − (6 − 15a)/4 ≥ a.

Решение

Первое неравенство умножим на 3: $5a + 8 - 3a \geqslant 6a$ , $2a + 8 \geqslant 6a$ , $8 \geqslant 4a$ , $a \leqslant 2$ .

Второе умножим на 4: $4 - (6 - 15a) \geqslant 4a$ , $-2 + 15a \geqslant 4a$ , $11a \geqslant 2$ , $a \geqslant \dfrac{2}{11}$ .

Пересечение: $\dfrac{2}{11} \leqslant a \leqslant 2$ .

Ответ

[2/11; 2]

Почему так

Решение системы — пересечение множеств решений всех её неравенств.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки