а) Решить двойное неравенство −6,5 < (7x + 6)/2 ≤ 20,5 и указать три его решения.
Решение
Умножим все части на 2: \(-13 < 7x + 6 \leqslant 41\). Вычтем 6: \(-19 < 7x \leqslant 35\). Разделим на 7: \(-\dfrac{19}{7} < x \leqslant 5\), то есть \(-2\dfrac{5}{7} < x \leqslant 5\).
Решения, например, \(-2\), \(0\) и \(5\) (число 5 входит, так как неравенство справа нестрогое).
Ответ
(−2 5/7; 5]; например, −2, 0, 5
Почему так
Двойное неравенство решают, выполняя одинаковые преобразования над всеми тремя его частями.
б) Решить двойное неравенство −1 < (4 − a)/3 ≤ 5 и указать три его решения.
Решение
Умножим все части на 3: \(-3 < 4 - a \leqslant 15\). Вычтем 4: \(-7 < -a \leqslant 11\). Умножим на \(-1\) и сменим знаки: \(7 > a \geqslant -11\), то есть \(-11 \leqslant a < 7\).
Решения, например, \(-11\), \(0\) и \(6\).
Ответ
[−11; 7); например, −11, 0, 6
Почему так
При умножении всех частей на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
г) Решить двойное неравенство −2,5 ≤ (1 − 3y)/2 ≤ 1,5 и указать три его решения.
Решение
Умножим все части на 2: \(-5 \leqslant 1 - 3y \leqslant 3\). Вычтем 1: \(-6 \leqslant -3y \leqslant 2\). Разделим на \(-3\) и сменим знаки: \(2 \geqslant y \geqslant -\dfrac{2}{3}\), то есть \(-\dfrac{2}{3} \leqslant y \leqslant 2\).
Решения, например, \(-\dfrac{2}{3}\), \(0\) и \(2\).
Ответ
[−2/3; 2]; например, −2/3, 0, 2
Почему так
При делении всех частей на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).