Задача 1
Условие (кратко)
При каких a уравнение x² + 2ax + a² − 4 = 0 имеет два корня, принадлежащие промежутку (−6; 6)?
Решение
Левая часть содержит полный квадрат: \(x^2 + 2ax + a^2 - 4 = (x + a)^2 - 4\). Уравнение \((x + a)^2 = 4\) при любом \(a\) имеет два корня:
\[x_1 = -a - 2, \quad x_2 = -a + 2.\]
Меньший корень \(x_1\), больший \(x_2\). Оба корня лежат в \((-6;\ 6)\), если \(x_1 > -6\) и \(x_2 < 6\):
\[\begin{cases} -a - 2 > -6, \\ -a + 2 < 6; \end{cases} \qquad \begin{cases} a < 4, \\ a > -4. \end{cases}\]
Значит, \(-4 < a < 4\).
Ответ
При −4 < a < 4
Почему так
Корни находят выделением полного квадрата, а условие на корни записывают системой неравенств.
Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».