Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 41

Упражнение 1004 к § 41

§ 41. Доказательство неравенств · тема: Доказательство неравенств

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать неравенство a² + b² + 4 ≥ 2(a + b + 1).

Решение

Составим разность левой и правой частей и выделим полные квадраты:

\[a^2 + b^2 + 4 - 2(a + b + 1) = a^2 - 2a + 1 + b^2 - 2b + 1 = (a - 1)^2 + (b - 1)^2.\]

Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому $(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \geqslant 0$ при любых $$a$$ и $$b$$ . Значит, $a^2 + b^2 + 4 \geqslant 2(a + b + 1)$ . Равенство достигается только при $$a = b = 1$$ .

Ответ

Разность равна (a − 1)² + (b − 1)² ≥ 0 — неравенство доказано

Почему так

Метод разности: разность частей приводится к сумме квадратов, а сумма квадратов неотрицательна.

Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать неравенство 4a² + b² > 4(a + b − 2).

Решение

Составим разность и выделим полные квадраты:

\[4a^2 + b^2 - 4a - 4b + 8 = (4a^2 - 4a + 1) + (b^2 - 4b + 4) + 3 = (2a - 1)^2 + (b - 2)^2 + 3.\]

Сумма двух неотрицательных квадратов и положительного числа 3 положительна при любых $$a$$ и $$b$$ . Значит, $$4a^2 + b^2 > 4(a + b - 2)$$ .

Ответ

Разность равна (2a − 1)² + (b − 2)² + 3 > 0 — неравенство доказано

Почему так

Метод разности: после выделения полных квадратов разность больше нуля при любых a и b.

Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки