Задача 1
Условие (кратко)
а) Доказать, что при x > 0 и y > 0 верно x/y² + y/x² ≥ 1/x + 1/y.
Решение
Составим разность и приведём её к общему знаменателю \(x^2y^2\):
\[\dfrac{x}{y^2} + \dfrac{y}{x^2} - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{x^3 + y^3 - xy^2 - x^2y}{x^2y^2}.\]
Разложим числитель на множители:
\[x^3 + y^3 - xy(x + y) = (x + y)(x^2 - xy + y^2) - xy(x + y) = (x + y)(x^2 - 2xy + y^2) = (x + y)(x - y)^2.\]
Получаем разность \(\dfrac{(x + y)(x - y)^2}{x^2y^2}\). При \(x > 0\), \(y > 0\) множитель \(x + y\) положителен, \((x - y)^2 \geqslant 0\), знаменатель положителен. Значит, разность неотрицательна, и неравенство доказано (равенство — при \(x = y\)).
Ответ
Разность равна (x + y)(x − y)²/(x²y²) ≥ 0 — неравенство доказано
Почему так
Метод разности: числитель раскладывается на положительный множитель и квадрат.
Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».