Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 41

Упражнение 1006 к § 41

§ 41. Доказательство неравенств · тема: Доказательство неравенств

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что при a > 0 и b > 0 верно (a + b)(ab + 16) ≥ 16ab.

Решение

Среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического: $\dfrac{x + y}{2} \geqslant \sqrt{xy}$ , то есть $x + y \geqslant 2\sqrt{xy}$ .

Применим это к каждой скобке:

a + b \geqslant 2\sqrt{ab}, \qquad ab + 16 \geqslant 2\sqrt{16ab} = 8\sqrt{ab}.

Обе части этих неравенств положительны, поэтому их можно перемножить:

(a + b)(ab + 16) \geqslant 2\sqrt{ab} \cdot 8\sqrt{ab} = 16ab.

Неравенство доказано.

Ответ

Неравенство доказано: a + b ≥ 2√(ab), ab + 16 ≥ 8√(ab), перемножаем

Почему так

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для каждой скобки, затем почленное умножение.

Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать, что при a > 0 и b > 0 верно (a² + 4b)(4b + 25) ≥ 80ab.

Решение

По неравенству $x + y \geqslant 2\sqrt{xy}$ для положительных чисел:

a^2 + 4b \geqslant 2\sqrt{4a^2b} = 4a\sqrt{b}, \qquad 4b + 25 \geqslant 2\sqrt{100b} = 20\sqrt{b}.

Здесь $\sqrt{a^2} = a$ , так как $$a > 0$$ . Обе части неравенств положительны, перемножаем их:

(a^2 + 4b)(4b + 25) \geqslant 4a\sqrt{b} \cdot 20\sqrt{b} = 80ab.