Задача 1
Условие (кратко)
а) Доказать, что (a + b)/c + (b + c)/a + (a + c)/b ≥ 6 при a > 0, b > 0, c > 0.
Решение
Разобьём дроби и сгруппируем взаимно обратные слагаемые:
\[\dfrac{a + b}{c} + \dfrac{b + c}{a} + \dfrac{a + c}{b} = \left(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\right) + \left(\dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b}\right) + \left(\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}\right).\]
Сумма положительного числа и обратного ему не меньше 2: \(t + \dfrac{1}{t} \geqslant 2\) при \(t > 0\), так как \(t + \dfrac{1}{t} - 2 = \dfrac{(t - 1)^2}{t} \geqslant 0\).
Значит, каждая скобка не меньше 2, а вся сумма не меньше \(2 + 2 + 2 = 6\). Неравенство доказано (равенство — при \(a = b = c\)).
Ответ
Неравенство доказано: сумма разбивается на три пары вида t + 1/t ≥ 2
Почему так
Используется неравенство t + 1/t ≥ 2 для положительного t.
Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».