Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что куб полусуммы любых двух положительных чисел не превосходит полусуммы их кубов.
Решение
Пусть \(a > 0\), \(b > 0\). Нужно доказать, что \(\left(\dfrac{a + b}{2}\right)^3 \leqslant \dfrac{a^3 + b^3}{2}\).
Составим разность правой и левой частей:
\[\dfrac{a^3 + b^3}{2} - \dfrac{(a + b)^3}{8} = \dfrac{4a^3 + 4b^3 - a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3}{8} = \dfrac{3(a^3 + b^3 - a^2b - ab^2)}{8}.\]
Так как \(a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 = (a + b)(a - b)^2\), разность равна \(\dfrac{3(a + b)(a - b)^2}{8} \geqslant 0\) при \(a > 0\), \(b > 0\). Утверждение доказано (равенство — при \(a = b\)).
Ответ
Доказано: разность равна 3(a + b)(a − b)²/8 ≥ 0
Почему так
Метод разности: разность раскладывается на положительный множитель и квадрат.
Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».