Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что √((a + c)(b + d)) ≥ √(ab) + √(cd) при a > 0, b > 0, c > 0, d > 0.
Решение
Обе части неотрицательны, поэтому достаточно сравнить их квадраты:
\[\left(\sqrt{(a + c)(b + d)}\right)^2 = ab + ad + bc + cd, \qquad \left(\sqrt{ab} + \sqrt{cd}\right)^2 = ab + cd + 2\sqrt{abcd}.\]
Разность квадратов:
\[ad + bc - 2\sqrt{abcd} = \left(\sqrt{ad}\right)^2 - 2\sqrt{ad}\sqrt{bc} + \left(\sqrt{bc}\right)^2 = \left(\sqrt{ad} - \sqrt{bc}\right)^2 \geqslant 0.\]
Квадрат левой части не меньше квадрата правой, а обе части неотрицательны, значит, и сама левая часть не меньше правой. Неравенство доказано.
Ответ
Неравенство доказано: разность квадратов частей равна (√(ad) − √(bc))² ≥ 0
Почему так
Для неотрицательных чисел из A² ≥ B² следует A ≥ B; разность квадратов — полный квадрат.
Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».