Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что при a > 0, b > 0, c > 0 верно 3/(a + b + c) < 1/(a + b) + 1/(b + c) + 1/(c + a).
Решение
Так как \(c > 0\), то \(0 < a + b < a + b + c\), а у положительных чисел большему соответствует меньшая обратная величина:
\[\dfrac{1}{a + b} > \dfrac{1}{a + b + c}.\]
Точно так же \(\dfrac{1}{b + c} > \dfrac{1}{a + b + c}\) и \(\dfrac{1}{c + a} > \dfrac{1}{a + b + c}\).
Сложим три неравенства почленно:
\[\dfrac{1}{a + b} + \dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{c + a} > \dfrac{3}{a + b + c}.\]
Неравенство доказано.
Ответ
Неравенство доказано: каждая дробь справа больше 1/(a + b + c)
Почему так
Неравенство получено почленным сложением трёх очевидных неравенств.
Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».