Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что если x + y + z = 1, то √(4x + 1) + √(4y + 1) + √(4z + 1) ≤ 5.
Решение
Корни имеют смысл при \(4x + 1 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -\dfrac{1}{4}\); тогда \(2x + 1 > 0\). Аналогично для \(y\) и \(z\).
Так как \(4x^2 \geqslant 0\), то
\[\sqrt{4x + 1} \leqslant \sqrt{4x^2 + 4x + 1} = \sqrt{(2x + 1)^2} = 2x + 1\]
(последнее равенство верно, потому что \(2x + 1 > 0\)). Точно так же \(\sqrt{4y + 1} \leqslant 2y + 1\) и \(\sqrt{4z + 1} \leqslant 2z + 1\).
Сложим почленно:
\[\sqrt{4x + 1} + \sqrt{4y + 1} + \sqrt{4z + 1} \leqslant 2(x + y + z) + 3 = 2 \cdot 1 + 3 = 5.\]
Неравенство доказано.
Ответ
Неравенство доказано: √(4x + 1) ≤ 2x + 1 и аналогично для y, z, сумма ≤ 2 + 3 = 5
Почему так
Каждый корень оценивается сверху через очевидное соотношение √(4x + 1) ≤ √((2x + 1)²).
Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».