Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что при любом a > 1 верно неравенство 1/√a < √(a + 1) − √(a − 1).
Решение
Освободимся от иррациональности в разности, умножив и разделив её на сопряжённое выражение:
\[\sqrt{a + 1} - \sqrt{a - 1} = \dfrac{(a + 1) - (a - 1)}{\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1}} = \dfrac{2}{\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1}}.\]
Докажем, что \(\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1} < 2\sqrt{a}\). Обе части положительны, сравним квадраты:
\[\left(\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1}\right)^2 = 2a + 2\sqrt{a^2 - 1}, \qquad \left(2\sqrt{a}\right)^2 = 4a.\]
Так как \(a^2 - 1 < a^2\), то \(\sqrt{a^2 - 1} < a\) и \(2a + 2\sqrt{a^2 - 1} < 4a\).
Знаменатель дроби меньше \(2\sqrt{a}\), значит, сама дробь больше:
\[\dfrac{2}{\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1}} > \dfrac{2}{2\sqrt{a}} = \dfrac{1}{\sqrt{a}}.\]
Неравенство доказано.
Ответ
Неравенство доказано: √(a + 1) − √(a − 1) = 2/(√(a + 1) + √(a − 1)), а знаменатель меньше 2√a
Почему так
Разность корней заменяется дробью, после чего сравниваются знаменатели.
Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».