Задача 1
Условие (кратко)
Велосипедист ехал в город на 2 км/ч медленнее намеченного, а обратно — на 2 км/ч быстрее. Успел ли он вернуться к намеченному сроку?
Решение
Дано
- расстояние \(s\) км
- намеченная скорость \(v\) км/ч (\(v > 2\))
- стоянка в городе — полчаса по плану и фактически
Найти
- успел ли велосипедист
Время стоянки одинаково, поэтому сравниваем только время в пути.
По плану: \(\dfrac{s}{v} + \dfrac{s}{v} = \dfrac{2s}{v}\) ч.
Фактически: \(\dfrac{s}{v - 2} + \dfrac{s}{v + 2} = \dfrac{s(v + 2) + s(v - 2)}{v^2 - 4} = \dfrac{2sv}{v^2 - 4}\) ч.
Составим разность:
\[\dfrac{2sv}{v^2 - 4} - \dfrac{2s}{v} = \dfrac{2sv^2 - 2s(v^2 - 4)}{v(v^2 - 4)} = \dfrac{8s}{v(v^2 - 4)}.\]
При \(v > 2\) числитель и знаменатель положительны, то есть фактическое время в пути больше намеченного. Велосипедист опоздал.
Ответ
Не успел
Почему так
Сравнение времён методом разности: потеря времени на медленном участке больше выигрыша на быстром.
Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».