Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 42

Упражнение 1074 к § 42

§ 42. Функция. Область определения и множество значений функции · тема: Функция. Область определения и множество значений функции

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти область определения функции y = (x² − 9)/(6 + 2x) и построить её график.

Решение

Область определения. Знаменатель: $6 + 2x \ne 0$ , $x \ne -3$ . Итак, $$D(y)$$ — все числа, кроме $$-3$$ .

Упрощение. При $x \ne -3$ :

y = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{2(x + 3)} = \dfrac{x - 3}{2} = 0{,}5x - 1{,}5.

График — прямая $$y = 0{,}5x - 1{,}5$$ без одной точки. Таблица:

$$x$$	$$-1$$	$$1$$	$$3$$	$$5$$
$$y$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$

При $$x = -3$$ прямая дала бы $y = 0{,}5 \cdot (-3) - 1{,}5 = -3$ , но функция там не определена, поэтому точка $(-3;\ -3)$ выколота (рисуется пустым кружком).

Ответ

Все числа, кроме −3; график — прямая y = 0,5x − 1,5 с выколотой точкой (−3; −3)

Почему так

Область определения находят по исходной дроби, а график строят по сокращённой формуле, выкалывая запретную точку.

Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти область определения функции y = (4 − x²)/(x² + 2x) и построить её график.

Решение

Область определения. Знаменатель: $x^2 + 2x = x(x + 2) \ne 0$ , значит $x \ne 0$ и $x \ne -2$ .

Упрощение. При $x \ne 0$ , $x \ne -2$ :

y = \dfrac{(2 - x)(2 + x)}{x(x + 2)} = \dfrac{2 - x}{x} = \dfrac{2}{x} - 1.

График. Это гипербола $y = \dfrac{2}{x}$ , опущенная на 1 вниз (каждая ордината уменьшена на 1). Таблица:

$$x$$	$$-4$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$2$$	$$4$$
$$y$$	$$-1{,}5$$	$$-3$$	$$-5$$	$$3$$	$$1$$	$$0$$	$$-0{,}5$$

Ветви лежат по разные стороны от оси $$y$$ и приближаются к прямой $$y = -1$$ . При $$x = -2$$ формула $\dfrac{2}{x} - 1$ дала бы $$y = -2$$ , но исходная функция там не определена: точка $(-2;\ -2)$ выколота.

Ответ

Все числа, кроме −2 и 0; график — гипербола y = 2/x − 1 с выколотой точкой (−2; −2)

Почему так

Запреты берут из исходного знаменателя x(x + 2); после сокращения на x + 2 точку x = −2 на графике выкалывают.

Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки