Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 42

Упражнение 1077 к § 42

§ 42. Функция. Область определения и множество значений функции · тема: Функция. Область определения и множество значений функции

Задача 1

Условие (кратко)

а) (Работа в парах.) Указать область определения функции y = 5/(|x + 1| + 4).

Решение

Модуль неотрицателен: $|x + 1| \geqslant 0$ , поэтому $|x + 1| + 4 \geqslant 4 > 0$ . Знаменатель не равен нулю ни при каком $$x$$ .

D(y) = (-\infty;\ +\infty).

В работе в парах: объясните партнёру, почему здесь нет «запретных» чисел, и сверьте ответы.

Ответ

Все числа

Почему так

Знаменатель |x + 1| + 4 не меньше 4, поэтому никогда не обращается в нуль.

Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».

Задача 2

Условие (кратко)

б) (Работа в парах.) Указать область определения функции y = 48/(|x| − 2).

Решение

Знаменатель: $|x| - 2 \ne 0$ , то есть $|x| \ne 2$ . Модуль равен 2 при $$x = 2$$ и при $$x = -2$$ .

D(y) = (-\infty;\ -2) \cup (-2;\ 2) \cup (2;\ +\infty).

Ответ

Все числа, кроме −2 и 2

Почему так

Уравнение |x| = 2 имеет два корня, оба исключаются из области определения.

Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».

Задача 3

Условие (кратко)

в) (Работа в парах.) Указать область определения функции y = x² + √(|x| − 1).

Решение

Слагаемое $$x^2$$ определено при всех $$x$$ , ограничение даёт только корень:

|x| - 1 \geqslant 0;\quad |x| \geqslant 1;\quad x \leqslant -1 \text{ или } x \geqslant 1.

D(y) = (-\infty;\ -1] \cup [1;\ +\infty).

Ответ

(−∞; −1] ∪ [1; +∞)

Почему так

Подкоренное выражение неотрицательно; неравенство |x| ≥ 1 выполняется вне интервала (−1; 1).

Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».

Задача 4

Условие (кратко)

г) (Работа в парах.) Указать область определения функции y = √(|2 − x| − 3x).

Решение

Нужно $|2 - x| - 3x \geqslant 0$ . Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

$x \leqslant 2$ . Тогда $$|2 - x| = 2 - x$$ и $2 - x - 3x \geqslant 0$ , $-4x \geqslant -2$ , $x \leqslant 0{,}5$ . С условием $x \leqslant 2$ получаем $x \leqslant 0{,}5$ .
$$x > 2$$ . Тогда $$|2 - x| = x - 2$$ и $x - 2 - 3x \geqslant 0$ , $-2x \geqslant 2$ , $x \leqslant -1$ — противоречит условию $$x > 2$$ , решений нет.

D(y) = (-\infty;\ 0{,}5].

Ответ

(−∞; 0,5]

Почему так

Модуль раскрывают по случаям знака 2 − x, в каждом решают неравенство «подкоренное ≥ 0».

Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки