Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 42

Упражнение 1080 к § 42

§ 42. Функция. Область определения и множество значений функции · тема: Функция. Область определения и множество значений функции

Задача 1

Условие (кратко)

а) Построить график функции f(x) = 1,5 − 3x, указать область определения и множество значений.

Решение

Это линейная функция, её график — прямая. Достаточно двух точек:

$$x$$	$$0$$	$$1$$
$$f(x)$$	$$1{,}5$$	$$-1{,}5$$

Проводим прямую через точки $(0;\ 1{,}5)$ и $(1;\ -1{,}5)$ . Она пересекает ось $$x$$ в точке $$x = 0{,}5$$ и идёт сверху вниз.

Формула имеет смысл при любом $$x$$ , поэтому $D(f) = (-\infty;\ +\infty)$ . Любое число $$b$$ является значением функции: $$1{,}5 - 3x = b$$ при $x = \dfrac{1{,}5 - b}{3}$ . Значит, $E(f) = (-\infty;\ +\infty)$ .

Ответ

График — прямая через (0; 1,5) и (1; −1,5); D(f) = (−∞; +∞), E(f) = (−∞; +∞)

Почему так

У линейной функции y = kx + b с k ≠ 0 и аргумент, и значения — любые числа.

Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Построить график функции f(x) = 4,5x, указать область определения и множество значений.

Решение

Это прямая пропорциональность, график — прямая через начало координат.

$$x$$	$$0$$	$$2$$
$$f(x)$$	$$0$$	$$9$$

Прямая проходит через $(0;\ 0)$ и $(2;\ 9)$ , лежит в I и III четвертях.

$D(f) = (-\infty;\ +\infty)$ ; любое $$b$$ получается при $x = \dfrac{b}{4{,}5}$ , поэтому $E(f) = (-\infty;\ +\infty)$ .

Ответ

График — прямая через (0; 0) и (2; 9); D(f) = (−∞; +∞), E(f) = (−∞; +∞)

Почему так

Прямая пропорциональность с k ≠ 0 принимает любые значения при любых x.

Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Построить график функции f(x) = 10/x, указать область определения и множество значений.

Решение

Это обратная пропорциональность, график — гипербола (при $$k = 10 > 0$$ — в I и III четвертях).

$$x$$	$$-10$$	$$-5$$	$$-2$$	$$-1$$	$$1$$	$$2$$	$$5$$	$$10$$
$$f(x)$$	$$-1$$	$$-2$$	$$-5$$	$$-10$$	$$10$$	$$5$$	$$2$$	$$1$$

Делить на нуль нельзя, поэтому $x \ne 0$ : $D(f) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)$ .

Дробь $\dfrac{10}{x}$ никогда не равна нулю, а любое $b \ne 0$ получается при $x = \dfrac{10}{b}$ . Значит, $E(f) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)$ .

Ответ

График — гипербола в I и III четвертях; D(f): x ≠ 0, то есть (−∞; 0) ∪ (0; +∞); E(f) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞)

Почему так

У функции y = k/x нельзя брать x = 0, и значение 0 она не принимает.

Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Построить график функции f(x) = −1/x, указать область определения и множество значений.

Решение

График — гипербола; так как $$k = -1 < 0$$ , ветви лежат во II и IV четвертях.

$$x$$	$$-4$$	$$-2$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$2$$	$$4$$
$$f(x)$$	$$0{,}25$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$2$$	$$-2$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$	$$-0{,}25$$

$x \ne 0$ , поэтому $D(f) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)$ . Значение $$0$$ не достигается, любое $b \ne 0$ получается при $x = -\dfrac{1}{b}$ : $E(f) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)$ .

Ответ

График — гипербола во II и IV четвертях; D(f) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞); E(f) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞)

Почему так

Обратная пропорциональность определена при x ≠ 0 и принимает все значения, кроме 0.

Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки