Задача 1
Условие (кратко)
Используя графики (рис. 52), указать область определения и множество значений функций y = x², y = x³, y = √x, y = |x|.
Решение
Смотрим, какие \(x\) «покрывает» график (проекция на ось \(x\)) и какие \(y\) (проекция на ось \(y\)).
- \(y = x^2\) — парабола: \(x\) любое, \(y \geqslant 0\). \(D = (-\infty;\ +\infty)\), \(E = [0;\ +\infty)\).
- \(y = x^3\) — кубическая парабола уходит вниз и вверх без ограничений: \(D = (-\infty;\ +\infty)\), \(E = (-\infty;\ +\infty)\).
- \(y = \sqrt{x}\) — корень определён только при \(x \geqslant 0\) и сам неотрицателен: \(D = [0;\ +\infty)\), \(E = [0;\ +\infty)\).
- \(y = |x|\) — модуль определён при любом \(x\) и не бывает отрицательным: \(D = (-\infty;\ +\infty)\), \(E = [0;\ +\infty)\).
Ответ
y = x²: D = (−∞; +∞), E = [0; +∞); y = x³: D = (−∞; +∞), E = (−∞; +∞); y = √x: D = [0; +∞), E = [0; +∞); y = |x|: D = (−∞; +∞), E = [0; +∞)
Почему так
Область определения — проекция графика на ось x, множество значений — проекция на ось y.
Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».