Задача 1
Найти область определения и множество значений функции y = x²/(x² + 1).
Решение
Область определения. Знаменатель \(x^2 + 1 \geqslant 1\), он никогда не равен нулю. Значит, \(D(y) = (-\infty;\ +\infty)\).
Множество значений. Числитель \(x^2 \geqslant 0\), знаменатель положителен, поэтому \(y \geqslant 0\); \(y = 0\) при \(x = 0\).
Числитель всегда меньше знаменателя на 1, поэтому \(y = \dfrac{x^2}{x^2 + 1} < 1\). Перепишем: \(y = 1 - \dfrac{1}{x^2 + 1}\) — дробь \(\dfrac{1}{x^2+1}\) положительна, значит \(y < 1\).
Любое ли число \(b\) из \([0;\ 1)\) получается? Решим \(\dfrac{x^2}{x^2 + 1} = b\): \(x^2 = b(x^2 + 1)\), \(x^2(1 - b) = b\), \(x^2 = \dfrac{b}{1 - b}\). При \(0 \leqslant b < 1\) правая часть неотрицательна, и \(x = \sqrt{\dfrac{b}{1 - b}}\) подходит. Например, \(b = 0{,}5\) при \(x = 1\).
\(E(y) = [0;\ 1)\).
Ответ
Знаменатель не обращается в нуль, а дробь неотрицательна и всегда меньше 1, причём принимает любое значение из [0; 1).
Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».