Упражнение 1089 к § 42

Проводим горизонтальную прямую \(y = 3{,}5\). Она пересекает график \(y = |x|\) («галочку» с вершиной в начале координат) в двух точках — с абсциссами \(3{,}5\) и \(-3{,}5\).

Проверка: \(|3{,}5| = 3{,}5\), \(|-3{,}5| = 3{,}5\).

Ищем точки графика, лежащие ниже прямой \(y = 2\). Прямая пересекает график при \(x = -2\) и \(x = 2\); между ними график ниже прямой.

Концы не входят, потому что там \(|x| = 2\), а неравенство строгое: \(-2 < x < 2\).

Ищем точки графика на прямой \(y = 4\) или выше неё. Прямая пересекает график при \(x = -4\) и \(x = 4\); выше прямой график при \(x < -4\) и при \(x > 4\). Концы входят (неравенство нестрогое).

\(x \in (-\infty;\ -4] \cup [4;\ +\infty)\).

Самая низкая точка графика — вершина \((0;\ 0)\), поэтому наименьшее значение \(y = 0\) (при \(x = 0\)).

Обе ветви уходят вверх неограниченно: для любого числа \(M\) есть \(x\) с \(|x| > M\), например \(x = M + 1\). Наибольшего значения нет.

Любое \(b \geqslant 0\) получается при \(x = b\), отрицательных значений нет: \(E = [0;\ +\infty)\).