Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 42

Упражнение 1090 к § 42

§ 42. Функция. Область определения и множество значений функции · тема: Функция. Область определения и множество значений функции

Задача 1

Условие (кратко)

а) Составить таблицу значений и построить график y = x³ − 8x, где −3 ≤ x ≤ 3. Каково множество значений функции?

Решение

Таблица значений (шаг 0,5 возле «горбов»):

$$x$$	$$-3$$	$$-2$$	$$-1{,}5$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$1{,}5$$	$$2$$	$$3$$
$$y$$	$$-3$$	$$8$$	$$8{,}625$$	$$7$$	$$0$$	$$-7$$	$$-8{,}625$$	$$-8$$	$$3$$

Например, $$y(-2) = -8 + 16 = 8$$ , $$y(1{,}5) = 3{,}375 - 12 = -8{,}625$$ .

График: от точки $(-3;\ -3)$ кривая поднимается до «горба» около $x \approx -1{,}6$ (высота около $$8{,}7$$ ), затем опускается, проходит через $(0;\ 0)$ , достигает «впадины» около $x \approx 1{,}6$ (глубина около $$-8{,}7$$ ) и снова поднимается до $(3;\ 3)$ . График симметричен относительно начала координат.

Наибольшее значение — вершина «горба», наименьшее — дно «впадины». По графику это примерно $$8{,}7$$ и $$-8{,}7$$ (точнее, $\pm\dfrac{32\sqrt{6}}{9} \approx \pm 8{,}71$ — так находят в старших классах). Значения на концах ( $$-3$$ и $$3$$ ) лежат внутри этого промежутка.

Множество значений: $E \approx [-8{,}7;\ 8{,}7]$ .

Ответ

Приблизительно [−8,7; 8,7]

Почему так

Множество значений — от самой низкой до самой высокой точки построенного графика на заданном отрезке.

Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Составить таблицу значений и построить график y = 4/(x + 2), где −1,5 ≤ x ≤ 6. Каково множество значений функции?

Решение

При $-1{,}5 \leqslant x \leqslant 6$ знаменатель $$x + 2 > 0$$ , функция определена.

$$x$$	$$-1{,}5$$	$$-1$$	$$0$$	$$2$$	$$4$$	$$6$$
$$y$$	$$8$$	$$4$$	$$2$$	$$1$$	$\tfrac{2}{3}$	$$0{,}5$$

График — часть гиперболы $y = \dfrac{4}{x}$ , сдвинутой на 2 влево: от точки $(-1{,}5;\ 8)$ кривая круто опускается, затем всё медленнее и заканчивается в точке $(6;\ 0{,}5)$ .

С ростом $$x$$ знаменатель растёт, а дробь уменьшается, поэтому наибольшее значение — на левом конце, наименьшее — на правом:

$y(-1{,}5) = \dfrac{4}{0{,}5} = 8$ , $\quad y(6) = \dfrac{4}{8} = 0{,}5$ .

$E = [0{,}5;\ 8]$ .

Ответ

[0,5; 8]

Почему так

На отрезке функция убывает, поэтому её значения заключены между значениями на правом и левом концах.

Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки