Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 42

Упражнение 1092 к § 42

§ 42. Функция. Область определения и множество значений функции · тема: Функция. Область определения и множество значений функции

Задача 1

Условие (кратко)

Температура воды в баке p = 2t + 20 при 0 ≤ t < 40, p = 100 при 40 ≤ t ≤ 60, p = −2t/3 + 140 при 60 < t ≤ 150. Как она менялась?

Решение

На $[0;\ 40)$ : $$p = 2t + 20$$ . При $$t = 0$$ $$p = 20$$ , при $t \to 40$ $p \to 2 \cdot 40 + 20 = 100$ . Температура равномерно росла с $$20$$ °C почти до $$100$$ °C, на $$2$$ °C в минуту.

На $[40;\ 60]$ : $$p = 100$$ — температура не менялась, держалась $$100$$ °C.

На $(60;\ 150]$ : $p = -\dfrac{2}{3}t + 140$ . При $$t = 60$$ получилось бы $$-40 + 140 = 100$$ , при $$t = 150$$ : $-\dfrac{2}{3} \cdot 150 + 140 = -100 + 140 = 40$ . Температура равномерно понижалась со $$100$$ °C до $$40$$ °C, на $\dfrac{2}{3}$ °C в минуту.

Ответ

На [0; 40) росла с 20 °C до 100 °C (на 2 °C в минуту); на [40; 60] была постоянной, 100 °C; на (60; 150] понижалась со 100 °C до 40 °C

Почему так

Коэффициент при t в линейной формуле показывает, на сколько градусов в минуту меняется температура.

Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».

Задача 2

Условие (кратко)

Построить график функции p = f(t) (температура воды в баке по формуле с тремя промежутками).

Решение

График состоит из трёх отрезков прямых.

$$t$$ , мин	$$0$$	$$40$$	$$60$$	$$150$$
$$p$$ , °C	$$20$$	$$100$$	$$100$$	$$40$$

Отрезок из точки $(0;\ 20)$ в точку $(40;\ 100)$ — подъём.
Горизонтальный отрезок от $(40;\ 100)$ до $(60;\ 100)$ .
Отрезок из $(60;\ 100)$ вниз к точке $(150;\ 40)$ .

В точках $$t = 40$$ и $$t = 60$$ куски стыкуются без разрыва, получается одна непрерывная ломаная. Удобный масштаб: по оси $$t$$ — 1 клетка на 10 мин, по оси $$p$$ — 1 клетка на 10 °C.

Ответ

Ломаная через точки (0; 20), (40; 100), (60; 100), (150; 40)

Почему так

Каждый кусок задан линейной формулой, поэтому график — ломаная из трёх отрезков.

Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».

Задача 3

Условие (кратко)

Какой физический смысл имеет процесс p = f(t) на промежутках [0; 40), [40; 60], (60; 150]?

Решение

$[0;\ 40)$ — нагревание. Бак с водой комнатной температуры ( $$20$$ °C) поставили греть, температура равномерно растёт.
$[40;\ 60]$ — кипение. При $$100$$ °C вода закипает; пока она кипит (20 минут), подводимое тепло уходит на парообразование, и температура не меняется.
$(60;\ 150]$ — остывание. Нагрев выключили, вода остывает и через полтора часа охлаждается до $$40$$ °C.

В модели остывание равномерное; в жизни вода остывает сначала быстрее, потом медленнее.

Ответ

Нагревание воды от 20 °C до кипения; кипение при 100 °C в течение 20 мин; остывание после выключения нагрева до 40 °C

Почему так

Постоянная температура 100 °C — признак кипения воды при нормальном давлении.

Подробнее — в теме «Функция. Область определения и множество значений функции».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки