а) Для функции y = f(x) по графику (рис. 67, а) указать D(f), E(f), нули, промежутки знакопостоянства и монотонности, f(−3) и f(1).
Решение
По рисунку график начинается в точке \((-6;\ -3)\), поднимается до \((-2;\ 6)\), опускается до \((4;\ -6)\) и поднимается до \((6;\ -5)\).
\(D(f) = [-6;\ 6]\).
\(E(f) = [-6;\ 6]\): наибольшее значение \(6\) при \(x = -2\), наименьшее \(-6\) при \(x = 4\).
Нули: \(-5\) и \(1\).
\(f(x) > 0\) на \((-5;\ 1)\); \(f(x) < 0\) на \([-6;\ -5)\) и \((1;\ 6]\).
Возрастает на \([-6;\ -2]\) и \([4;\ 6]\), убывает на \([-2;\ 4]\).
\(f(-3) \approx 5\) (по графику), \(f(1) = 0\).
Ответ
D = [−6; 6]; E = [−6; 6]; нули −5 и 1; f > 0 на (−5; 1), f < 0 на [−6; −5) и (1; 6]; возрастает на [−6; −2] и [4; 6], убывает на [−2; 4]; f(−3) ≈ 5, f(1) = 0
Почему так
Все свойства читаются по графику — проекции на оси, пересечения с осью x и подъёмы-спуски.
б) Для функции y = f(x) по графику (рис. 67, б) указать D(f), E(f), нули, промежутки знакопостоянства и монотонности, f(−3) и f(1).
Решение
По рисунку график идёт от точки \((-6;\ 2)\) вверх до \((-4;\ 6)\), вниз до \((-1;\ -4)\), вверх до \((3;\ 3)\) и вниз до \((5;\ -3)\).
\(D(f) = [-6;\ 5]\).
\(E(f) = [-4;\ 6]\).
Нули: \(-3\), \(2\), \(4\).
\(f(x) > 0\) на \([-6;\ -3)\) и \((2;\ 4)\); \(f(x) < 0\) на \((-3;\ 2)\) и \((4;\ 5]\).
Возрастает на \([-6;\ -4]\) и \([-1;\ 3]\), убывает на \([-4;\ -1]\) и \([3;\ 5]\).
\(f(-3) = 0\), \(f(1) = -2\).
Ответ
D = [−6; 5]; E = [−4; 6]; нули −3, 2, 4; f > 0 на [−6; −3) и (2; 4), f < 0 на (−3; 2) и (4; 5]; возрастает на [−6; −4] и [−1; 3], убывает на [−4; −1] и [3; 5]; f(−3) = 0, f(1) = −2
Почему так
Все свойства читаются по графику — проекции на оси, пересечения с осью x и подъёмы-спуски.
в) Для функции y = f(x) по графику (рис. 67, в) указать D(f), E(f), нули, промежутки знакопостоянства и монотонности, f(−3) и f(1).
Решение
По рисунку график идёт от точки \((-6;\ -5)\) вверх до \((-3;\ 3)\), вниз до \((0;\ -2)\) и затем по прямой вверх до \((6;\ 4)\).
\(D(f) = [-6;\ 6]\).
\(E(f) = [-5;\ 4]\).
Нули (по графику, приближённо): \(-5\), \(-1\), \(2\).
\(f(x) > 0\) на \((-5;\ -1)\) и \((2;\ 6]\); \(f(x) < 0\) на \([-6;\ -5)\) и \((-1;\ 2)\).
Возрастает на \([-6;\ -3]\) и \([0;\ 6]\), убывает на \([-3;\ 0]\).
\(f(-3) = 3\); на \([0;\ 6]\) график — отрезок прямой через \((0;\ -2)\) и \((2;\ 0)\), поэтому \(f(1) = -1\).
Ответ
D = [−6; 6]; E = [−5; 4]; нули −5, −1, 2; f > 0 на (−5; −1) и (2; 6], f < 0 на [−6; −5) и (−1; 2); возрастает на [−6; −3] и [0; 6], убывает на [−3; 0]; f(−3) = 3, f(1) = −1
Почему так
Все свойства читаются по графику — проекции на оси, пересечения с осью x и подъёмы-спуски.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).