Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 43

Упражнение 1105 к § 43

§ 43. Свойства функции · тема: Свойства функции

Задача 1

Условие (кратко)

а) Начертить график какой-нибудь функции, нулями которой служат числа −3 и 3.

Решение

График должен пересекать ось $$x$$ ровно в точках $$-3$$ и $$3$$ . Подойдёт парабола $$y = x^2 - 9$$ , ведь $$x^2 - 9 = 0$$ при $x = \pm 3$ .

$$x$$	$$-4$$	$$-3$$	$$-2$$	$$0$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$
$$y$$	$$7$$	$$0$$	$$-5$$	$$-9$$	$$-5$$	$$0$$	$$7$$

Можно нарисовать и любую другую линию, которая пересекает ось $$x$$ только в этих двух точках.

Ответ

Например, y = x² − 9 (парабола, пересекающая ось x в точках −3 и 3)

Почему так

Нули функции — абсциссы точек, где график пересекает ось x.

Подробнее — в теме «Свойства функции».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Начертить график какой-нибудь функции, нулями которой служат числа −4, 0 и 2.

Решение

Подойдёт $$y = x(x + 4)(x - 2)$$ : произведение равно нулю при $$x = -4$$ , $$x = 0$$ , $$x = 2$$ .

$$x$$	$$-5$$	$$-4$$	$$-2$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$
$$y$$	$$-35$$	$$0$$	$$16$$	$$0$$	$$-5$$	$$0$$	$$21$$

Удобнее нарисовать «змейку» схематично: снизу вверх через $$-4$$ , вниз через $$0$$ , снова вверх через $$2$$ . Подойдёт и ломаная с теми же точками пересечения оси.

Ответ

Например, y = x(x + 4)(x − 2) или любая линия, пересекающая ось x только в точках −4, 0, 2

Почему так

Функция, записанная произведением, обращается в нуль, когда равен нулю один из множителей.

Подробнее — в теме «Свойства функции».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Начертить график какой-нибудь функции, нулями которой служат числа −3, 2, 1 и 5.

Решение

Подойдёт ломаная, которая пересекает ось $$x$$ ровно в точках $$-3$$ , $$1$$ , $$2$$ , $$5$$ (порядок на оси — по возрастанию), например через точки

(-4;\ -2),\ (-3;\ 0),\ (-1;\ 2),\ (1;\ 0),\ (1{,}5;\ -1),\ (2;\ 0),\ (3{,}5;\ 2),\ (5;\ 0),\ (6;\ -1).

Формулой: $$y = (x + 3)(x - 1)(x - 2)(x - 5)$$ — каждый множитель обращается в нуль в одной из заданных точек.

Ответ

Например, y = (x + 3)(x − 1)(x − 2)(x − 5) или ломаная, пересекающая ось x только в точках −3, 1, 2, 5

Почему так

Для каждого заданного нуля график должен пересечь ось x, и больше пересечений быть не должно.

Подробнее — в теме «Свойства функции».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки